Question

1．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R）的圖象與直線y=0在原點處相切，函數(shù)f（x）有極小值-$\frac{4}{27}$，則a的值為-1．

Answer 1

分析 由題意得，函數(shù)f（x）在原點處于x軸相切，即導(dǎo)函數(shù)在x=0處等于0，同時可令導(dǎo)函數(shù)為0，解得兩個極值，其中有一個為-$\frac{4}{27}$

解答 ∵f（x）與直線y=0在原點處相切
f′（x）=3x²+2ax+b
∴$f′（0）=0\\;\\;∴b=0$
∴f（x）=x³+ax²
f′（x）=3x²+2ax
=x（3x+2a）
令f′（x）=0，則x₁=0，${x}_{2}=-\frac{2a}{3}$
∵f（0）=0
$f（-\frac{2a}{3}）=\frac{4}{27}{a}^{3}$
∴$\frac{4}{27}{a}^{3}=-\frac{4}{27}$
∴a³=-1
∴a=-1
故答案為a=-1

點評 本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的極值及在某點處的相切．屬于基礎(chǔ)題．