Question

14．已知函數(shù)f（x）=x³-2x²-4x．
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，4]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=3x²-4x-4，利用導數(shù)性質能求出函數(shù)y=f（x）的單調增區(qū)間和單調減區(qū)間．
（2）由f′（x）=3x²-4x-4=0，得${x}_{1}=-\frac{2}{3}$，x₂=2，列表討論能求出f（x）在[-1，4]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x³-2x²-4x，
∴f′（x）=3x²-4x-4，
由f′（x）＞0，得x＜-$\frac{2}{3}$或x＞2，
由f′（x）＜0，得-$\frac{2}{3}$＜x＜2，
∴函數(shù)y=f（x）的單調增區(qū)間是（-∞，-$\frac{2}{3}$），[2，+∞）；單調減區(qū)間是[-$\frac{2}{3}$，2]．
（2）由f′（x）=3x²-4x-4=0，
得${x}_{1}=-\frac{2}{3}$，x₂=2，
列表，得：

x	-1	（-1，-$\frac{2}{3}$）	-$\frac{2}{3}$	（-$\frac{2}{3}$，2）	2	（2，4）	4
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	1	↑	$\frac{40}{27}$	↓	-8	↑	16

∴f（x）在[-1，4]上的最大值為f（x）_max=f（4）=16，最小值為f（x）_min=f（2）=-8．

點評 本題考查導數(shù)及其應用、不等式、函數(shù)等基礎知識，考查考查推理論證能力、運算求解能力、抽象概括能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想、分類與整合思想，是中檔題．