Question

19．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A，B，且|AB|=2，△ABF為等邊三角形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，點(diǎn)M在橢圓C上且位于第一象限內(nèi)，它關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為N；過點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為H，直線NH與橢圓C交于另一點(diǎn)J，若$\overrightarrow{HM}$•$\overrightarrow{HN}$=-$\frac{1}{2}$，試求以線段NJ為直徑的圓的方程；
（3）已知l₁，l₂是過點(diǎn)A的兩條互相垂直的直線，直線l₁與圓O：x²+y²=4相交于P，Q兩點(diǎn)，直線l₂與橢圓C交于另一點(diǎn)R，求△PQR面積最大值時(shí)，直線l₂的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可得b=1，c=$\sqrt{3}$，由a，b，c的關(guān)系，可得a，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)M（m，n），即有H（m，0），N（-m，-n），（m，n＞0），運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，可得m，n，求出NH的方程，代入橢圓方程，可得J的坐標(biāo)，求得NJ的中點(diǎn)坐標(biāo)和半徑，可得圓的方程；
（3）設(shè)l₂：y=kx-1，代入橢圓方程可得，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，再由三角形的面積公式，運(yùn)用配方和二次函數(shù)的最值的求法，即可得到所求直線的方程．

解答 解：（1）由題意可得|AB|=2，即b=1，
△ABF為等邊三角形，可得c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•2=$\sqrt{3}$，
a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=2，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）設(shè)M（m，n），即有H（m，0），N（-m，-n），（m，n＞0），
由$\overrightarrow{HM}$•$\overrightarrow{HN}$=-$\frac{1}{2}$，即為（0，n）•（-2m，-n）=-$\frac{1}{2}$，
即有-n²=-$\frac{1}{2}$，解得n=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
代入橢圓方程可得，$\frac{{m}^{2}}{4}$+$\frac{1}{2}$=1，
可得m=$\sqrt{2}$，即有N（-$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），H（$\sqrt{2}$，0），
直線NH：y=$\frac{1}{4}$（x-$\sqrt{2}$），代入橢圓方程，可得
5x²-2$\sqrt{2}$x-14=0，
由-$\sqrt{2}$•x_J=-$\frac{14}{5}$，解得x_J=$\frac{7\sqrt{2}}{5}$，
y_J=$\frac{1}{4}$（$\frac{7\sqrt{2}}{5}$-$\sqrt{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
J（$\frac{7\sqrt{2}}{5}$，$\frac{\sqrt{2}}{10}$），NJ中點(diǎn)為（$\frac{\sqrt{2}}{5}$，-$\frac{\sqrt{2}}{5}$），
圓的半徑為r=$\sqrt{（\frac{6\sqrt{2}}{5}）^{2}+（\frac{3\sqrt{2}}{10}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{34}}{10}$，
即有所求圓的方程為（x-$\frac{\sqrt{2}}{5}$）²+（y+$\frac{\sqrt{2}}{5}$）²=$\frac{153}{50}$；
（3）設(shè)l₂：y=kx-1，代入橢圓方程可得，
（1+4k²）x²-8kx=0，解得x_R=$\frac{8k}{1+4{k}^{2}}$，y_R=$\frac{4{k}^{2}-1}{1+4{k}^{2}}$，
則|AR|=$\sqrt{\frac{64{k}^{2}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}+\frac{64{k}^{4}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}}$=$\frac{8|k|\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$，
由題意可得直線PQ的方程為y=-$\frac{1}{k}$x-1，
由弦長公式可得|PQ|=2$\sqrt{4-（\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{4+3{k}^{2}}}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
則△PQR面積為S=$\frac{1}{2}$|PQ|•|AR|=$\frac{1}{2}$•$\frac{2\sqrt{4+3{k}^{2}}}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\frac{8|k|\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$
=8•$\sqrt{\frac{{k}^{2}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}•（4+3{k}^{2}）}$，
令1+4k²=t（t≥1），即有k²=$\frac{t-1}{4}$，
則S=2$\sqrt{\frac{3{t}^{2}+10t-13}{{t}^{2}}}$=2$\sqrt{3+\frac{10}{t}-\frac{13}{{t}^{2}}}$
=2$\sqrt{-13（\frac{1}{t}-\frac{5}{13}）^{2}+\frac{64}{13}}$，
可得$\frac{1}{t}$=$\frac{5}{13}$，即有t=$\frac{13}{5}$，即為k=±$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
即有直線l₂的方程為y=±$\frac{\sqrt{10}}{5}$x-1．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的a，b，c的關(guān)系，考查圓的方程的求法，注意運(yùn)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，聯(lián)立直線方程和橢圓方程求交點(diǎn)，考查三角形的面積的最值的求法，注意運(yùn)用弦長公式和換元法，以及二次函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．