Question

4．若數(shù)列{a_n}是正項數(shù)列，且$\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+…+\sqrt{a_n}={n^2}+3n（{n∈{N^*}}）$，則a_n=4（n+1）²．

Answer 1

分析 $\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+…+\sqrt{a_n}={n^2}+3n（{n∈{N^*}}）$，可得：n≥2時，$\sqrt{{a}_{1}}+\sqrt{{a}_{2}}$+…+$\sqrt{{a}_{n-1}}$=（n-1）²+3（n-1）．相減可得$\sqrt{{a}_{n}}$=2n+2，可得a_n，當n=1時，$\sqrt{{a}_{1}}$=4，解得a₁，即可得出．

解答 解：∵$\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+…+\sqrt{a_n}={n^2}+3n（{n∈{N^*}}）$，
∴n≥2時，$\sqrt{{a}_{1}}+\sqrt{{a}_{2}}$+…+$\sqrt{{a}_{n-1}}$=（n-1）²+3（n-1）．
∴$\sqrt{{a}_{n}}$=2n+2，可得a_n=4（n+1）²．
當n=1時，$\sqrt{{a}_{1}}$=4，解得a₁=16，對于上式也成立．
∴a_n=4（n+1）²．
故答案為：4（n+1）²．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關系、數(shù)列通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．