Question

已知函數(shù)y=f（x）的定義域和值域都是[-1，1]（其圖象如圖所示），函數(shù)g（x）=sinx，x∈[-π，π]．定義：當f（x₁）=0（x₁∈[-1，1]）且g（x₂）=x₁（x₂∈[-π，π]）時，稱x₂是方程f（g（x））=0的一個實數(shù)根．則方程f（g（x））=0的所有不同實數(shù)根的個數(shù)是________．

Answer 1

8
分析：通過圖象可知方程f（x）=0數(shù)有4個非零實數(shù)解，g（x）=sinx，x∈[-π，π]，當f（x₁）=0（x₁∈[-1，1]）且g（x₂）=x₁（x₂∈[-π，π]）即f[g（x）]=0根的個數(shù)推出正確結論．
解答：當f（x₁）=0（x₁∈[-1，1]）且g（x₂）=0即f[g（x）]=0
通過圖象可知方程f（x）=0有4個非零實數(shù)解，分別設為t1，t2，t3，t4，
∵函數(shù)g（x）=sinx，x∈[-π，π]，∴g（x）∈[-1，1]，
∴令g（x）分別為t₁，t₂，t₃，t₄時都有兩個x值與之對應，
因此方程f（g（x））=0的所有不同實數(shù)根的個數(shù)是8個，
故答案為：8
點評：本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，函數(shù)的圖象，考查邏輯思維能力，是中檔題．