【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形是正方形,四邊形是梯形,∥,,平面平面,且.
(Ⅰ)求證:∥平面;
(Ⅱ)求二面角的大;
(Ⅲ)已知點(diǎn)在棱上,且異面直線與所成角的余弦值為,求線段的長.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3).
【解析】
先利用線面垂直的性質(zhì)證明直線平面,以點(diǎn)為原點(diǎn),分別以的方向?yàn)?/span>軸,軸,軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系,(1)可得是平面的一個法向量,求得,利用,且直線平面可得結(jié)果;(2)利用向量垂直數(shù)量積為0,列方程組分別求出平面與平面的法向量,由空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果;(3)設(shè),則,,
由,可得, 解方程可得結(jié)果.
(1)平面平面,
平面平面 ,
,,
直線平面.
由題意,以點(diǎn)為原點(diǎn),分別以的方向?yàn)?/span>軸,軸,軸的正向建立如圖空間直角坐標(biāo)系,
則可得:,
.
依題意,易證:是平面的一個法向量,
又, ,
又直線平面, .
(2) .
設(shè)為平面的法向量,
則,即.
不妨設(shè),可得.
設(shè)為平面的法向量,
又 ,
則,即.
不妨設(shè),可得,
,
又二面角為鈍二面角,
二面角的大小為.
(3)設(shè),則,又,
又,即,
,解得或(舍去).
故所求線段的長為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系取相同的長度單位,且以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸)中,圓的方程為.
(1)求圓的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)圓與直線交于點(diǎn),若點(diǎn)的坐標(biāo)為,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地?cái)M建造一座體育館,其設(shè)計(jì)方案側(cè)面的外輪廓線如圖所示:曲線是以點(diǎn)為圓心的圓的一部分,其中,是圓的切線,且,曲線是拋物線的一部分,,且恰好等于圓的半徑.
(1)若米,米,求與的值;
(2)若體育館側(cè)面的最大寬度不超過75米,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,滿足,則的最小值為
A. B. 3 C. 4 D. 12
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【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)設(shè),已知在上存在兩個極值點(diǎn),且,求證:(其中為自然對數(shù)的底數(shù)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,在曲線與直線的交點(diǎn)中,若相鄰交點(diǎn)距離的最小值為,則的最小正周期為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)對年銷售量(單位:t)的影響.該公司對近5年的年宣傳費(fèi)和年銷售量數(shù)據(jù)進(jìn)行了研究,發(fā)現(xiàn)年宣傳費(fèi)x(萬元)和年銷售量y(單位:t)具有線性相關(guān)關(guān)系,并對數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的一些統(tǒng)計(jì)量的值.
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)建立年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程;
(2)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x,y的關(guān)系為,根據(jù)(1)中的結(jié)果回答下列問題:
①當(dāng)年宣傳費(fèi)為10萬元時,年銷售量及年利潤的預(yù)報(bào)值是多少?
②估算該公司應(yīng)該投入多少宣傳費(fèi),才能使得年利潤與年宣傳費(fèi)的比值最大.
附:回歸方程中的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為
參考數(shù)據(jù):.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)在處的切線方程;
(Ⅱ)若對任意的,恒成立,求的取值范圍;
(Ⅲ)當(dāng)時,設(shè)函數(shù).證明:對于任意的,函數(shù)有且只有一個零點(diǎn).
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