Question

在數列{a_n}中，已知a₁=2，a_n+1=（n∈N^*），且滿足a_i（a_i-1）＜m（m為常數，且為整數）．
（1）求證：為{-1}等比數列；
（2）求m的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由遞推式a_n+1=（n∈N^*）的結構特點，可以轉化為，即，構造得出等比數列{}
（2）通過數列{}的通項公式求出a_i（a_i-1）=（i=1，2，3，…），利用放縮法求的2≤a_i（a_i-1）≤3，故m的最小值為3．
解答：解：（1）由a_n+1=（n∈N^*），得，即，
又=，
所以數列{}是首項為，公比為的等比數列，
（2）由（1）得==-，
∴a_n=，故a_i（a_i-1）=（i=1，2，3，…）
當i≥2時，a_i（a_i-1）=＜==-，
故a_i（a_i-1）=+=3-＜3，
又a_i（a_i-1）=≥=2，
故m的最小值為3．
點評：本題考查數列的遞推公式和通項公式，不等式恒成立問題，考查轉化構造、放縮的解題和證明方法．