Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓D：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F₂作傾斜角為的直線交橢圓D于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)₁到直線AB的距離為3，連接橢圓D的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形面積為4．
（Ⅰ）求橢圓D的方程；
（Ⅱ）過(guò)橢圓D的左頂點(diǎn)P作直線l₁交橢圓D于另一點(diǎn)Q．
（ⅰ）若點(diǎn)N（0，t）是線段PQ垂直平分線上的一點(diǎn)，且滿足，求實(shí)數(shù)t的值；
（ⅱ）過(guò)P作垂直于l₁的直線l₂交橢圓D于另一點(diǎn)G，當(dāng)直線l₁的斜率變化時(shí)，直線GQ是否過(guò)x軸上的一定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)給出證明，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)出AB的方程，利用F₁到直線AB的距離為3，可求得c的值，利用a²-b²=c²=3，連接橢圓D的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形面積為4，即可求得橢圓D的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l₁的方程代入橢圓D的方程，消去y，整理得一元二次方程，由韋達(dá)定理，可求得線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)；（�。┊�(dāng)k=0時(shí)，則有Q（2，0），線段PQ垂直平分線為y軸，利用，可求t的值；當(dāng)k≠0時(shí)，求出線段PQ垂直平分線的方程，令x=0，得：，利用，可求t的值；
（ⅱ）設(shè)直線l₂的方程與橢圓方程聯(lián)立，確定Q的坐標(biāo)，從而可求GQ的直線方程，令y=0，即可得到結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)F₁，F(xiàn)₂的坐標(biāo)分別為（-c，0），（c，0），其中c＞0
由題意得AB的方程為：
因F₁到直線AB的距離為3，所以有，解得…（1分）
所以有a²-b²=c²=3…①
由題意知：，即ab=2…②
聯(lián)立①②解得：a=2，b=1
∴所求橢圓D的方程為…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（-2，0），設(shè)Q（x₁，y₁）
根據(jù)題意可知直線l₁的斜率存在，可設(shè)直線斜率為k，則直線l₁的方程為y=k（x+2）
把它代入橢圓D的方程，消去y，整理得：（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0
由韋達(dá)定理得，則，
∴y₁=k（x₁+2）=，∴，
∴線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為，…（6分）
（�。┊�(dāng)k=0時(shí)，則有Q（2，0），線段PQ垂直平分線為y軸，于是
由，解得：…（8分）
當(dāng)k≠0時(shí)，則線段PQ垂直平分線的方程為y-
因?yàn)辄c(diǎn)N（0，t）是線段PQ垂直平分線的一點(diǎn)，
令x=0，得：，于是
由，解得：
代入，解得：
綜上，滿足條件的實(shí)數(shù)t的值為或…（10分）
（ⅱ）設(shè)G（x₂，y₂），由題意知l₁的斜率k≠0，直線l₂的斜率為，則
由化簡(jiǎn)得：（k²+4）x²+16x+16-4k²=0．
∵此方程有一根為-2，得⇒．…（12分）
∵，則
所以GQ的直線方程為
令y=0，則．
所以直線GQ過(guò)x軸上的一定點(diǎn)…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，綜合性強(qiáng)．