Question

如圖,AB=AD,∠BAD=90°,M,N,G分別是BD,BC,AB的中點(diǎn),將等邊△BCD沿BD折疊到△BC′D的位置,使得AD⊥C′B.
(1)求證：平面GNM∥平面ADC′.
(2)求證：C′A⊥平面ABD.

Answer 1

（1）見(jiàn)解析   （2）見(jiàn)解析

(1)因?yàn)镸,N分別是BD,BC′的中點(diǎn),
所以MN∥DC′.
因?yàn)镸N?平面ADC′,
DC′?平面ADC′,所以MN∥平面ADC′.
同理NG∥平面ADC′.
又因?yàn)镸N∩NG=N,
所以平面GNM∥平面ADC′.
(2)因?yàn)椤螧AD=90°,所以AD⊥AB.
又因?yàn)锳D⊥C′B,且AB∩C′B=B,所以AD⊥平面C′AB.
因?yàn)镃′A?平面C′AB,所以AD⊥C′A.
因?yàn)椤鰾CD是等邊三角形,AB=AD,
不妨設(shè)AB=1,則BC=CD=BD=,可得C′A=1.
由勾股定理的逆定理,可得AB⊥C′A.
因?yàn)锳B∩AD=A,所以C′A⊥平面ABD.