Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、G分別是A₁A，D₁C，AD的中點．求證：
（1）MN∥平面ABCD；
（2）MN⊥平面B₁BG．

Answer 1

分析：（1）取CD的中點記為E，連接NE，AE，證明MN∥AE，即可MN∥平面ABCD；
（2）證明AE⊥BG，BB₁⊥AE，即證明 AE⊥平面B₁BG，然后可得MN⊥平面B₁BG．

解答：證明：（1）取CD的中點記為E，連接NE，AE．
由N，E分別為CD₁與CD的中點可得
NE∥D₁D且NE=

1

2

D₁D，
又AM∥D₁D且AM=

1

2

D₁D，
所以AM∥EN且AM=EN，即四邊形AMNE為平行四邊形，
所以MN∥AE，
又AE?平面ABCD，所以MN∥平面ABCD．

（2）由AG=DE，∠BAG=∠ADE=90°，DA=AB
可得△EDA≌△GAB．
所以∠AGB=∠AED，
又∠DAE+∠AED=90°，
所以∠DAE+∠AGB=90°，
所以AE⊥BG，
又BB₁⊥AE，所以AE⊥平面B₁BG，
又MN∥AE，所以MN⊥平面B₁BG．

點評：本題考查直線與平面平行，直線與平面垂直，考查學(xué)生邏輯思維能力，是中檔題．