Question

如圖，已知直三棱柱，，是棱上動(dòng)點(diǎn)，是中點(diǎn) ，，.

（1）求證：平面；

（2）當(dāng)是棱中點(diǎn)時(shí)，求證：∥平面；

（3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得二面角的大小是，若存在，求的長，若不存在，請(qǐng)說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1），平面（2）∥，四邊形是平行四邊形∥∥平面（3）在棱上存在點(diǎn)，使得二面角的大小是，

此時(shí)

【解析】

試題分析：（1）證明：∵三棱柱是直棱柱，∴平面.

又∵平面，∴ .

∵，，是中點(diǎn)，

∴. 

又∵∩，

∴平面.                                                    ……4分

（2）證明：取的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，.

∵、分別是棱、中點(diǎn)，

∴ ，.

又∵，，

∴ ∥，.

∴ 四邊形是平行四邊形，

∴ ∥.  

又∵平面，平面，

∴ ∥平面.                                                   ……9分

（3）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則,,.

設(shè)，平面的法向量，

則,.

且，.

于是

所以取，則

∵ 三棱柱是直棱柱，

∴ 平面.

又∵ 平面，∴  .∵ ，

∴ . ∵ ∩，∴ 平面.

∴ 是平面的法向量，.

二面角的大小是，

則. 解得.

∴ 在棱上存在點(diǎn)，使得二面角的大小是，

此時(shí).                                                         ……15分

考點(diǎn)：本小題主要考查空間立體幾何中的線面垂直、線面平行和二面角問題，考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力.

點(diǎn)評(píng)：用定理證明立體幾何問題時(shí)，要注意定理的條件缺一不可；涉及到二面角問題，常常建立空間直角坐標(biāo)系用空間向量解決.