Question

如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，側(cè)面AB₁與側(cè)面AC₁所成的二面角為60°，M為AA₁上的點(diǎn)，∠A₁MC₁=30°，∠CMC₁=90°，AB=a．
（1）求BM與側(cè)面AC₁所成角的正切值；
（2）求頂點(diǎn)A到面BMC₁的距離．

Answer 1

分析：建立空間坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，
（1）求出線BM方向向量與面AC₁的法向量．由公式求出線面角的正弦，再求余弦．算出正切即可
（2）求出向量MA的坐標(biāo)，平面MBC₁的法向量，求出向量MA在平面MBC₁的法向量上的投影的長度，此即頂點(diǎn)A到面BMC₁的距離

解答：解：由題知AC=

1

2

a，BC=

3

2

a，A₁M=

3

2

a，MC₁=a，AM=

3

6

a，故棱柱的高CC₁=

2 3

3

a，
以C₁為原點(diǎn)，C₁A₁所在直線為x軸，C1B1所在直線為y軸建立空間坐標(biāo)系，
則C₁（0，0，0），A₁（

1

2

a，0，0），B₁（0，

3

2

a，0），C（0，0，

2 3

3

a），
A（

1

2

a，0，

2 3

3

a），B（0，

3

2

a，

2 3

3

a），M（

1

2

a，0，

3

2

a）
（1）面AC₁法向量為

CB

=（0，

3

2

a，0），

BM

=（

1

2

a，-

3

2

a，-

3

6

a）
故線面角的正弦為sinθ=

3 4 a2

3 2 a× 13 12 a

=

3 13

13

，cosθ=

2 13

13

，tanθ=

3

2

故所求線面角的正切為

3

2

．
（II）由已知

C 1M

=（

1

2

a，0，

3

2

a），

C 1B

=（0，

3

2

a，

2 3

3

a）
設(shè)面C₁MB的法向量為

n

=（x，y，z）
則

n • C 1M =0 n • C 1B =0

∴

x× 1 2 a+z× 3 2 a=0 y× 3 2 a+z× 2 3 3 a=0

即

1 2 x+ 3 2 z=0 3 2 y+ 2 3 3 z=0

令x=1，則z=-

3

3

，y=-

4

3

z=

4 3

9

故

n

=（1，-

3

3

，

4 3

9

）
又

MA

=（0，

3

6

a，0），
故點(diǎn)A到面C₁MB的距離為d=|

n • MA

n

|=

1 6 a

1+ 1 3 + 16 27

=

39

52

a．
即A到面C₁MB的距離為

39

52

a．

點(diǎn)評：本題考點(diǎn)是立體幾何中求線面角及求點(diǎn)到面的距離，由于本題第二問用傳統(tǒng)的幾何方法不易求得三角形的面積，故不方便用等體積法求點(diǎn)到面的距離，有鑒于此，雖然第一問用立體幾何方法求線面角正切易求，但因?yàn)榈诙�問必須建立空間坐標(biāo)系，所以第一問也采用了空間向量方法求線面角的正弦；在第二問中，求點(diǎn)到面的距離問題轉(zhuǎn)化成了求點(diǎn)與面上一點(diǎn)所連線段對應(yīng)的向量在面的法向量上的投影長度的問題，可以看到，此法易想，思路固定，大大降低了解決立體幾何問題時(shí)思維的難度．