20.函數(shù)f(x)=$\frac{1}{{{2^x}-1}}$+a關(guān)于(0,0)對稱.
(1)求a得值;
(2)解不等式f(x)<$\frac{2}{3}$.

分析 (1)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可求出a的值,
(2)根據(jù)指數(shù)函數(shù),f(x)<$\frac{2}{3}$,化為$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1>0}\\{5-{2}^{x}<0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1<0}\\{5-{2}^{x}>0}\end{array}\right.$,解得即可.

解答 解:(1)函數(shù)f(x)=$\frac{1}{{{2^x}-1}}$+a關(guān)于(0,0)對稱,
∴f(1)=-f(-1),
∴$\frac{1}{2-1}$+a=-$\frac{1}{\frac{1}{2}-1}$-a,
解得a=$\frac{1}{2}$,
(2)由(1)可知,f(x)=$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$,
∵f(x)<$\frac{2}{3}$,
∴$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$<$\frac{2}{3}$,
∴$\frac{1}{{2}^{x}-1}$<$\frac{1}{6}$,
∴$\frac{5-{2}^{x}}{6({2}^{x}-1)}$<0,
∴$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1>0}\\{5-{2}^{x}<0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1<0}\\{5-{2}^{x}>0}\end{array}\right.$,
解得x>log25,或x<0,
故不等式的解集為(-∞,0)∪(log25,+∞)

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性和不等式的解法,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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