Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}（x+1），x＞0}\\{-{x}^{2}-3x，x≤0}\end{array}\right.$，若函數(shù)g（x）=f（x）-a有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{9}{4}$）．

Answer 1

分析 將函數(shù)g（x）=f（x）-a有3個零點轉(zhuǎn)化為y=f（x）與y=a有三個交點，在同一坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)的圖象，即可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}（x+1），x＞0}\\{-{x}^{2}-3x，x≤0}\end{array}\right.$，
∴函數(shù)g（x）=f（x）-a有3個零點?
方程f（x）=a有3個根?y=f（x）與y=a有三個交點，
在同一坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)的圖象如下：
由圖可知，當(dāng)0＜a＜$\frac{9}{4}$時，y=f（x）與y=a有三個交點，即函數(shù)g（x）=f（x）-a有3個零點．
故答案為：（0，$\frac{9}{4}$）．

點評 本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，將函數(shù)g（x）=f（x）-a有3個零點轉(zhuǎn)化為y=f（x）與y=a有三個交點是關(guān)鍵，考查等價轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的綜合運用，屬于中檔題．