Question

（2012•保定一模）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，直線PD與底面ABCD所成的角等于30°，PF=FB，E∈BC，EF∥平面PAC．
（1）試求

BE

EC

的值；
（2）求三棱錐P一ADC的表面積和體積．

Answer 1

分析：（1）利用EF∥平面PAC，可得EF∥PC，根據(jù)PF=FB，可知BE=EC；
（2）確定三棱錐P一ADC的各個面的面積，即可求得表面積；根據(jù)

1

3

×S△ADC×PA可求三棱錐P一ADC的體積．

解答：解：（1）∵平面PBC∩平面PAC=PC，EF?平面PBC，EF∥平面PAC
∴EF∥PC
∵PF=FB，
∴BE=EC，即

BE

EC

=1
（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD
∵PA=1，直線PD與底面ABCD所成的角等于30°
∴AD=

3

∴S△PAD=

1

2

PA•AD=

3

2

，S△ADC=

1

2

AB•AD=

3

2

∵CD⊥DA，CD⊥AP，DA∩AP=A
∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥PD
∴S△PCD=

1

2

PD•CD=1，S△PCA=

1

2

PA•CA=1
∴三棱錐P一ADC的表面積為2×

3

2

+2×1=2+

3

三棱錐P一ADC的體積為

1

3

×S△ADC×PA =

1

3

×

3

2

×1=

3

6

點評：本題考查線面平行的性質(zhì)，考查三棱錐的表面積與體積，熟練掌握線面平行的性質(zhì)是關鍵．