Question

已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d在（-∞，0]上是增函數(shù)，在[0，1]上是減函數(shù)，其中b、c、d都是實(shí)數(shù)．
（I）求c的值；
（II）求b的取值范圍；
（III）當(dāng)b≠-3時，令g（x）=，若g（x）的最小值為h（b），求h（b）的最大值．

Answer 1

解：（I）據(jù)題意，f′（x）=3x²+2bx+c≥0在（-∞，0]上恒成立，
且f′（x）=3x²+2bx+c≤0在[0，1]上恒成立，
所以0是f（x）的極大值點(diǎn)，
所以f′（0）=0，
所以c=0
（II），由（I）知，f′（x）=3x²+2bx=x（3x+2b），
當(dāng)b＞0時，由f′（x）＜0解得，
所以函數(shù)的遞減區(qū)間為與在[0，1]上是減函數(shù)矛盾，不合題意．
當(dāng)b＜0時，由f′（x）＜0解得，
所以函數(shù)的遞減區(qū)間為，
因?yàn)楹瘮?shù)在[0，1]上是減函數(shù)，
所以f′（x）≤0在[0，1]上恒成立，
所以解得b
（III）
當(dāng)x≠1時，b≠-3時，，
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/129782.png' />，
所以x∈R時，h（b）=，
又b，b≠-3時，h（b）是關(guān)于b的增函數(shù)，
所以
分析：（I）據(jù)題意，所以0是f（x）的極大值點(diǎn)，判斷出0是f（x）的極大值點(diǎn)，得到f′（0）=0，求出c=0；
（II），當(dāng)b＞0時，由f′（x）＜0得到函數(shù)的遞減區(qū)間為與在[0，1]上是減函數(shù)矛盾，不合題意．當(dāng)b＜0時，由f′（x）＜0得到函數(shù)的遞減區(qū)間為，令得b的范圍．
（III）求出g（x）的解析式，分段求出各段函數(shù)的最小值，比較出最小值h（b），利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出h（b）的最大值．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0，函數(shù)遞增時，導(dǎo)函數(shù)大于等于0；考查分段函數(shù)的最值應(yīng)該分段來求，屬于較難的題．