Question

7．已知橢圓E：x²+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（0＜b＜1）的左焦點為F，右頂點為A，上頂點為B，過F、A、B作圓P，其中圓心P的坐標為（m，n），且m+n＞0，則橢圓E的離心率取值范圍是$（0，\frac{\sqrt{2}}{2}）$．

Answer 1

分析 分別求出線段FA與AB的垂直平分線方程，聯(lián)立解出圓心坐標P，利用m+n＞0，與離心率計算公式即可得出．

解答 解：如圖所示，
線段FA的垂直平分線為：x=$\frac{1-\sqrt{1-^{2}}}{2}$．
線段AB的中點$（\frac{1}{2}，\frac{2}）$．
∵k_AB=-$\frac{1}$=-b．
∴線段AB的垂直平分線的斜率k=$\frac{1}$．
∴線段AB的垂直平分線方程為：y-$\frac{2}$=$\frac{1}（x-\frac{1}{2}）$，
把x=$\frac{1-\sqrt{1-^{2}}}{2}$=m代入上述方程可得：y=$\frac{^{2}-\sqrt{1-^{2}}}{2b}$=n．
∵m+n＞0，
∴$\frac{1-\sqrt{1-^{2}}}{2}$+$\frac{^{2}-\sqrt{1-^{2}}}{2b}$＞0．
化為：$b＞\sqrt{1-^{2}}$，又0＜b＜1，
解得$\frac{\sqrt{2}}{2}＜b＜1$．
∴$e=\frac{c}{a}$=c=$\sqrt{1-^{2}}$∈$（0，\frac{\sqrt{2}}{2}）$．
故答案為：$（0，\frac{\sqrt{2}}{2}）$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、線段的垂直平分線方程、三角形外心性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．