Question

7．如圖，ABED是長(zhǎng)方形，平面ABED⊥平面ABC，AB=AC=5，BC=BE=6，且M是BC的中點(diǎn)
（Ⅰ） 求證：AM⊥平面BEC；
（Ⅱ） 求三棱錐B-ACE的體積；
（Ⅲ）若點(diǎn)Q是線段AD上的一點(diǎn)，且平面QEC⊥平面BEC，求線段AQ的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出BE⊥AM，BC⊥AM，由此能證明AM⊥平面BEC．
（Ⅱ）由V_B-ACE=V_E-ABC，能求出三棱錐B-ACE的體積．
（Ⅲ）在平面QEC內(nèi)作QN⊥EC，QN交CE于點(diǎn)N．QN與AM共面，設(shè)該平面為a，推導(dǎo)出四邊形AMNQ是平行四方形，由此能求出AQ．

解答 證明：（Ⅰ）∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC=AB，
BE⊥AB，BE?平面ABED，
∴BE⊥平面ABC，又AM?平面ABC，∴BE⊥AM．
又AB=AC，M是BC的中點(diǎn)，∴BC⊥AM，
又BC∩BE=B，BC?平面BEC，BE?平面BEC，
∴AM⊥平面BEC．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥平面ABC，∴h=BE=6．
在Rt△ABM中，$AM=\sqrt{A{B^2}-B{M^2}}=\sqrt{{5^2}-{3^2}}=4$，
又${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×BC×AM=\frac{1}{2}×6×4=12$，
∴${V_{B-ACE}}={V_{E-ABC}}=\frac{1}{3}×{S_{△ABC}}×h=\frac{1}{3}×12×6=24$．
（Ⅲ）在平面QEC內(nèi)作QN⊥EC，QN交CE于點(diǎn)N．
∵平面QEC⊥平面BEC，平面QEC∩平面BEC-EC，
∴QN⊥平面BEC，又AM⊥平面BEC．∴QN∥AM．
∴QN與AM共面，設(shè)該平面為a，∵ABED是長(zhǎng)方形，∴AQ∥BE，
又Q?平面BEC，BE?平面BEC，∴AQ∥平面BEC，
又AQ?α，α∩平面BEC=MN，∴AQ∥MN，又QN∥AM，
∴四邊形AMNQ是平行四方形．∴AQ=MN．
∵AQ∥BE，AQ∥MN，∴MN∥BE，又M是BC的中點(diǎn)．∴$MN=\frac{1}{2}BE=3$，
∴AQ=MN=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查線段長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．