Question

12．甲、乙兩家商場對同一種商品展開促銷活動，對購買該商品的顧客兩家商場的獎勵方案如下：甲商場：顧客轉(zhuǎn)動如圖所示轉(zhuǎn)盤，當(dāng)指針指向陰影部分（圖中兩個陰影部分均為扇形，且每個扇形圓心角均為$\frac{π}{4}$，邊界忽略不計）即為中獎．乙商場：從裝有4個白球，4個紅球和4個籃球的盒子中一次性摸出3球（這些球初顏色外完全相同），如果摸到的是3個不同顏色的球，即為中獎．
（Ⅰ）試問：購買該商品的顧客在哪家商場中獎的可能性大？說明理由；
（Ⅱ）記在乙商場購買該商品的顧客摸到籃球的個數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （I）利用幾何概率計算公式即可得出．
（II）利用超幾何分布列的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（I）設(shè)顧客去甲商場轉(zhuǎn)動圓盤，指針指向陰影部分為事件A，
食言的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為圓盤，面積為πr²（r為圓盤的半徑），陰影區(qū)域的面積為$S=\frac{{\frac{π}{4}×2}}{2π}π{r^2}=\frac{1}{4}π{r^2}$．
所以$P（A）=\frac{{\frac{1}{4}π{r^2}}}{{π{r^2}}}=\frac{1}{4}$，
設(shè)顧客去乙商場一次摸出3個不同顏色的球為事件B，則一切等可能得結(jié)果有$C_{12}^1=220$種；
所以$P（B）=\frac{54}{220}=\frac{16}{55}$．
因為P（A）＜P（B），所以顧客在乙商場中獎的可能性大些．
（Ⅱ）由題意知，X的取值為0，1，2，3．
則$P（{X=0}）=\frac{C_4^0C_8^3}{{C_{12}^3}}=\frac{12}{55}$，P（X=1）=$\frac{{∁}_{4}^{1}{∁}_{8}^{2}}{{∁}_{12}^{3}}$=$\frac{28}{55}$，$P（{X=2}）=\frac{C_4^2C_8^1}{{C_{12}^3}}=\frac{12}{55}$，$P（{X=3}）=\frac{C_4^3}{{C_{12}^3}}=\frac{1}{55}$，
所以X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{14}{55}$	$\frac{28}{55}$	$\frac{12}{55}$	$\frac{1}{55}$

故ε的數(shù)學(xué)期望$E（X）=0×\frac{14}{55}+1×\frac{28}{55}+2×\frac{12}{55}+3×\frac{1}{55}=1$．

點評 本題考查了幾何概率計算公式、超幾何分布列的性質(zhì)及其數(shù)學(xué)期望計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．