Question

在直角坐標系中，已知點列P₁（1，-），P₂（2，），P₃（3，-），…，P_n（n，），…，其中n是正整數(shù)．連接P₁ P₂的直線與x軸交于點X₁（x₁，0），連接P₂ P₃的直線與x軸交于點X₂（x₂，0），…，連接P_n P_n+1的直線與x軸交于點X_n（x_n，0），…．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）依次記△X₁P₂X₂的面積為S₁，△X₂P₃X₃的面積為S₃，…，△X_nP_n+1X_n的面積為S_n，…試求無窮數(shù)列{S_n}的各項和．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設知直線P_nP_n+1的方程為：=，令y=0，得x_n=x=．
（2）由，知數(shù)列{a_n}是首項為，公比為的等比數(shù)列，由此能求出無窮數(shù)列{S_n}的各項和．
解答：解：（1）∵P_n（n，），P_n+1（n+1，），
∴直線P_nP_n+1的方程為：=，
∴令y=0，得，
整理，得x-n=，
∴x_n=x=．
即．
（2）由題設條件能夠?qū)С?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024183014176780744/SYS201310241830141767807019_DA/14.png">，
∴數(shù)列{a_n}是首項為，公比為的等比數(shù)列，
∴S=S_n==．
點評：本題考查數(shù)列現(xiàn)解析幾何的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．