Question

如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，其漸近線方程為y=±kx（k＞0），且該雙曲線的離心率e=

2

k．
（1）求該雙曲線的離心率；
（2）若a=1，雙曲線上的一點(diǎn)B滿足以F₁B為直徑的圓過點(diǎn)A（

2

2

，-

2

2

）．求證：AB平分∠F₁BF₂．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,證明題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出雙曲線的漸近線方程，由條件可得c²=2b²，再由A，B，C的關(guān)系和離心率公式，即可計(jì)算得到；
（2）求出雙曲線方程，運(yùn)用直線垂直的條件，解方程求得B的坐標(biāo)，求出直線AB，F(xiàn)₁B，F(xiàn)₂B的斜率，運(yùn)用到角公式計(jì)算即可得證．

解答： （1）解：雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的漸近線方程為y=±

b

a

x，
由漸近線方程為y=±kx（k＞0），且該雙曲線的離心率e=

2

k，
則有k=

b

a

，e=

c

a

=

2

•

b

a

，即有c²=2b²=2（c²-a²），即有c²=2a²，
則有離心率e=

2

；
（2）證明：由a=1，e=

2

，可得，c=

2

，b=1．
則雙曲線方程為x²-y²=1，F(xiàn)₁（-

2

，0），F(xiàn)₂（

2

，0），
設(shè)B（m，n），則由以F₁B為直徑的圓過點(diǎn)A，
即有AB⊥F₁A，則

n+ 2 2

m- 2 2

•

2 2

- 3 2 2

=-1，
即有3m-n=2

2

，又m²-n²=1．
解得，m=

3 2

4

，n=

2

4

．
則B（

3 2

4

，

2

4

），
則有k_AB=

2 4 + 2 2

3 2 4 - 2 2

=3，kF1B=

2 4

3 2 4 + 2

=

1

7

，kF2B=

2 4

3 2 4 - 2

=-1．
則F₁B到AB的角的正切為

3- 1 7

1+ 3 7

=2，AB到F₂B的角的正切為

-1-3

1+(-3)

=2，
則有∠ABF₁=∠ABF₂，即有AB平分∠F₁BF₂．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程和離心率的求法，考查直線到直線的角的公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．