Question

從甲、乙兩班某項(xiàng)測(cè)試成績(jī)中各隨機(jī)抽取5名同學(xué)的成績(jī)，得到如下莖葉圖．已知甲班樣本成績(jī)的中位數(shù)為13，乙班樣本成績(jī)的平均數(shù)為16．
（Ⅰ） 求x，y的值；
（Ⅲ） 試估計(jì)甲、乙兩班在該項(xiàng)測(cè)試中整體水平的高低（只需寫(xiě)出結(jié)論）；
（Ⅲ） 從兩組樣本成績(jī)中分別去掉一個(gè)最低分和一個(gè)最高分，再?gòu)膬山M
剩余成績(jī)中分別隨機(jī)選取一個(gè)成績(jī)，求這兩個(gè)成績(jī)的和ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．
（注：方差s²=

1

n

[（x₁-

.

x

）²+（x₂-

.

x

）²+…+（x_n-

.

x

）²]，其中

.

x

為x₁，x₂，…，x_n的平均數(shù)．）

Answer 1

考點(diǎn)：極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差,莖葉圖

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（I）根據(jù)中位數(shù)與平均數(shù)的概念，求出x、y的值；
（II）根據(jù)甲、乙兩班的平均數(shù)與方差，比較得出結(jié)論；
（III）根據(jù)題意，求出這兩班測(cè)試成績(jī)的和ξ的可能值，計(jì)算概率值，列出ξ的分布列，求出期望值．

解答： 解：（I）根據(jù)題意，得；
甲班數(shù)據(jù)依次為9，12，10+x，20，26，
∴中位數(shù)為10+x=13，即x=3；
乙班的平均數(shù)是

.

x

乙=

1

5

(9+15+10+y+18+20)=16，
解得y=8；…（4分）
（II）乙班整體水平高，
∵甲班的平均數(shù)與方差為

.

x

甲=

1

5

(9+12+13+20+26)=16，

s

2 甲

=

1

5

[(9-16)2+(12-16)2+(13-16)2+(20-16)2+(26-16)2)]=38，
乙班的平均數(shù)與方差為

.

x

乙=

1

5

(9+15+18+18+20)=16，

s

2 乙

=

1

5

[(9-16)2+(15-16)2+(18-16)2+(18-16)2+(20-16)2)]=

74

5

=14.8；

s

2 甲

＞

s

2 乙

，∴乙班的整體水平穩(wěn)定些；…（7分）
（III） 從甲、乙兩班測(cè)試中分別去掉一個(gè)最低分和最高分，
則甲班為：12，13，20，
乙班為：15，18，18；
這兩班測(cè)試成績(jī)的和為ξ，則ξ=27，28，30，31，35，38；
∴P(ξ=27)=

1

9

，P(ξ=28)=

1

9

，P(ξ=30)=

2

9

，P(ξ=31)=

2

9

，P(ξ=35)=

1

9

，P(ξ=38)=

2

9

；
所以ξ的分布列為

ξ	27	28	30	31	35	38
P	1 9	1 9	2 9	2 9	1 9	2 9

所以ξ的期望為E(ξ)=27×

1

9

+28×

1

9

+30×

2

9

+31×

2

9

+35×

1

9

+38×

2

9

=32．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了莖葉圖的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了中位數(shù)與平均數(shù)以及離散型隨機(jī)變量的分布列和期望的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)性題目．