Question

1．已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+2ax，g（x）=3{a^2}lnx+b$，其中a＞0．設(shè)兩曲線y=f（x）與y=g（x）有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線相同．則b的最大值為（　�。�

• A． $\frac{3}{2}{e^2}$
• B． $\frac{3}{2}{e^{\frac{2}{3}}}$
• C． $\frac{2}{3}{e^{\frac{2}{3}}}$
• D． $\frac{1}{3}{e^{\frac{1}{3}}}$

Answer 1

分析 設(shè)y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點(diǎn)（m，n）處的切線相同，分別求出兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率相等且f（m）=g（m），解得m=a，求出b關(guān)于a的函數(shù)，設(shè)h（t）=$\frac{5}{2}$t²-3t²lnt（t＞0），求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得極大值，且為最大值，即可得到所求b的范圍．

解答 解：設(shè)y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點(diǎn)（m，n）處的切線相同，
f′（x）=x+2a，g′（x）=$\frac{3{a}^{2}}{x}$，
由題意知f（m）=g（m），f′（m）=g′（m），
∴m+2a=$\frac{3{a}^{2}}{m}$，且$\frac{1}{2}$m²+2am=3a²lnm+b，
由m+2a=$\frac{3{a}^{2}}{m}$得，m=a，或m=-3a（舍去），
即有b=$\frac{1}{2}$a²+2a²-3a²lna=$\frac{5{a}^{2}}{2}$-3a²lna，
令h（t）=$\frac{5}{2}$t²-3t²lnt（t＞0），
則h′（t）=2t（1-3lnt），于是：
當(dāng)2t（1-3lnt）＞0，即0＜t＜e${\;}^{\frac{1}{3}}$時(shí)，h′（t）＞0；
當(dāng)2t（1-3lnt）＜0，即t＞e${\;}^{\frac{1}{3}}$時(shí)，h′（t）＜0．
故h（t）在（0，+∞）的最大值為h（e${\;}^{\frac{1}{3}}$）=$\frac{3}{2}$e${\;}^{\frac{2}{3}}$，
故b的最大值為$\frac{3}{2}$e${\;}^{\frac{2}{3}}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)法，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．