已知圓x2＋y2－6mx－2(m－1)y＋10m2－2m－24＝0(m∈R)．

(1)求證不論m為何值，圓心在同一直線l上．

(2)求與l平行的直線中，哪些與圓相交、相切、相離？

(3)求證：任何一條平行于l且與圓相交的直線中被圓截得的弦長(zhǎng)相等．

答案：
解析：

　　解：(1)將圓的方程化為：(x－3m)2＋[y－(m－1)]2＝25，設(shè)圓心為C(x，y)，

　　則

　　消去m得l：x－3y－3＝0．

　　∴不論m為何值，圓心在同一直線l：x－3y－3＝0上．

　　(2)設(shè)與l平行的直線是l：x－3y＋b＝0，則圓心到直線l的距離為

　　d＝．

　　∵圓的半徑r＝5，

　　∴當(dāng)d＜r時(shí)，即－3＜b＜－3，直線與l相交；

　　當(dāng)b＝±－3時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)d＞r時(shí)，即b＜－3或b＞－3時(shí)，直線與圓相離．

　　(3)對(duì)于任一條平行于l且與圓相交的直線l1：x－3y＋b＝0，由圓心到直線l的距離d＝，從而弦長(zhǎng)等于與m無關(guān)，故結(jié)論成立．


提示：

通過消參數(shù)m得出直線l的方程，利用幾何關(guān)系尋找相交、相切、相離的直線．


練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•煙臺(tái)一模）已知圓x2+y2-4x-2y-6=0的圓心在直線ax+2by-2ab=0上，其中a＞0，b＞0，則ab的最小值是
4
4
．

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已知圓x2＋y2＋mx－7＝0與拋物線x2＝16y的準(zhǔn)線相切，則m＝

[　　]

A．6

B．－6

C．

D．3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：甘肅省天水一中2011屆高三第三次月考數(shù)學(xué)理科試題 題型：013

已知圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0關(guān)于直線2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)對(duì)稱，則＋的最小值是

[　　]
A．

4

B．

6

C．

8

D．

9

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：福建省泉州一中2012屆高三5月模擬考試數(shù)學(xué)文科試題 題型：013

已知圓x2＋y2－4x－2y－6＝0的圓心在直線ax＋2by－2ab＝0上，其中a＞0，b＞0，則ab的最小值是

[　　]

A．8

B．4

C．2

D．1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年河南省輝縣市高二上學(xué)期第二次階段性考試數(shù)學(xué)卷 題型：選擇題

已知圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0關(guān)于直線2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)對(duì)稱，

則＋的最小值是

A．4           B．6           C．8            D．9

 

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