橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）與雙曲線
x2
m2
-
y2
3-m2
=1(0＜m2＜3)有公共的焦點(diǎn)，過橢圓E的右頂點(diǎn)作任意直線l，設(shè)直線l交拋物線y2=2x于M、N兩點(diǎn)，且OM⊥ON．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)P是橢圓E上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為A、關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為Q，線段PQ與x軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為CQ的中點(diǎn)，若直線AD與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為B，試判斷直線PA，PB是否相互垂直？并證明你的結(jié)論．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）設(shè)直線l：ty=x-a，代入y2=2x，并整理，利用韋達(dá)定理，結(jié)合OM⊥ON，即可求橢圓E的方程；
（2）PA⊥PB，設(shè)P（x0，y0），將直線AD的方程y=
y0
4x0
(x+x0)-y0代入橢圓的方程，并整理，求出B的坐標(biāo)，證明kPA•kPB=-1，即可得到結(jié)論．
解答： 解：（1）設(shè)點(diǎn)M（x1，y1），N(x2，
y
 
2
)．
設(shè)直線l：ty=x-a，代入y2=2x，并整理得y2-2ty-2a=0，
所以
y1+y2=2t
y1•y2=-2a
 …（2分）
故有
OM
•
ON
=x1•x2+y1•y2=(ty1+a)(ty2+a)+y1•y2=(t2+1)y1y2+at(y1+y2)+a2
=（t2+1）（-2a）+at2+a2=a2-2a，解得a=2…（5分）
又橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)，故有c=
3
，
所以橢圓的方程為
x2
4
+y2=1．…（7分）
（2）PA⊥PB．
證明：設(shè)P（x0，y0），則A（-x0，-y0），D(x0，-
1
2
y0)且x02+4
y
2
0
=4
將直線AD的方程y=
y0
4x0
(x+x0)-y0代入橢圓的方程，
并整理得(4x02+y02)x2-6x0
y
2
0
+9
x
2
0
y
2
0
-16
x
2
0
=0…（9分）
由題意，可知此方程必有一根-x0，
xB=
6x0
y
2
0
4
x
2
0
+
y
2
0
+x0，yB=
y0
4x0
(
6x0
y
2
0
4
x
2
0
+
y
2
0
+2x0)-y0=
y
3
0
-2
x
2
0
y0
4
x
2
0
+
y
2
0
，
所以kPB=
y
3
0
-2
x
2
0
y0
4
x
2
0
+
y
2
0
-y0
6x0
y
2
0
4
x
2
0
+
y
2
0
=
-6
x
2
0
y0
6x0
y
2
0
=-
x0
y0
…（12分）
故有kPA•kPB=-1，即PA⊥PB…（13分）
點(diǎn)評：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知P是△ABC所在平面α外一點(diǎn)，O是點(diǎn)P在平面α內(nèi)的射影
（1）若P到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，則O是△ABC外心；
（2）若PA、PB、PC與平面α所成的角相等，則O是△ABC的內(nèi)心；
（3）若P到△ABC三邊距離相等，且O在△ABC的內(nèi)部，則O是△ABC的內(nèi)心；
（4）若平面PAB、PBC、PCA與平面α所成的角相等，且O在△ABC的內(nèi)部，則O是△ABC的外心；
（5）若PA、PB、PC兩兩垂直，則O是△ABC的垂心．
其中正確命題的序號是
 
（把你認(rèn)為正確命題的序號都寫上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列命題為真命題的是（　�。�
①如果命題“?p”與命題“p∨q”都是真命題，那么命題q一定是真命題；
②“若x2+y2=0，則x，y全為0”的否命題；
③“若x∈A∩B，則x∈A∪B”的逆命題；
④若?p是q的必要條件，則p是?q的充分條件；
⑤到兩定點(diǎn)F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0）距離之和為定值2的動(dòng)點(diǎn)軌跡是橢圓．
A、①②⑤B、①③④
C、②③D、①②④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

執(zhí)行如圖所不的程序框圖，則輸出的x的值是（　�。�
A、3B、4C、6D、8

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

甲乙丙丁4人玩?zhèn)髑蛴螒�，持球者將球等可能的傳給其他3人，若球首先從甲傳出，經(jīng)過3次傳球．
（1）求球恰好回到甲手中的概率；
（2）設(shè)乙獲球（獲得其他游戲者傳的球）的次數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知某年級1000名學(xué)生的百米跑成績?nèi)拷橛?3秒與18秒之間，為了了解學(xué)生的百米跑成績情況，隨機(jī)抽取了若干學(xué)生的百米跑成績，并按如下方式分成五組：第一組[13，14）；第二組[14，15）；…；第五組[17，18]．按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知圖中從左到右的前3個(gè)組的頻率之比為1：4：10，且第二組的頻數(shù)為8．
（Ⅰ）請估計(jì)該年級學(xué)生中百米跑成績在[16，17）內(nèi)的人數(shù)；
（Ⅱ）求調(diào)查中隨機(jī)抽取了多少個(gè)學(xué)生的百米成績；
（Ⅲ）若從第一和第五組所有成績中隨機(jī)取出2個(gè)，求這2個(gè)成績差的絕對值大于1秒的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足
Sn
n
=3n-2
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=
3
anan+1
，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求使得Tn＜
m
20
對所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，右焦點(diǎn)為(
3
，0)．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）過橢圓右焦點(diǎn)且斜率為k的直線與橢圓交于點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），若
x1x2
a2
+
y1y2
b2
=0，求斜率k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知x，y滿足約束條件
x≥1
x+y≤3
x-y≤2
，點(diǎn)A（2，1），B（x，y），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則
OA
•
OB
最大值時(shí)為
 
．

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