Question

17．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=$\frac{3}{4}$，S_n=S_n-1+a_n-1+$\frac{1}{2}$（n∈N^*且n≥2），數(shù)列{b_n}滿足：b₁=-$\frac{37}{4}$，且3b_n-b_n-1=n+1（n∈N^*且n≥2）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求證：數(shù)列{b_n-a_n}為等比數(shù)列；
（Ⅲ）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a_n=S_n-S_n-1，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，即可得到所求；
（Ⅱ）求得b_n，及b_n-a_n，b_n-1-a_n-1，再由等比數(shù)列的定義，即可得證；
（Ⅲ）運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得b_n，判斷b_n-b_n-1的符號(hào)，可得{b_n}是遞增數(shù)列，求出b₁，b₂，b₃，即可得到所求和的最小值．

解答 解：（Ⅰ）由${S_n}={S_{n-1}}+{a_{n-1}}+\frac{1}{2}$得${S_n}-{S_{n-1}}={a_{n-1}}+\frac{1}{2}$
即${a_n}-{a_{n-1}}=\frac{1}{2}$（n≥2且n∈N^*），
則數(shù)列{a_n}為以$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列，
因此${a_n}=\frac{3}{4}+（{n-1}）×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}n+\frac{1}{4}$；
（Ⅱ）證明：因?yàn)?b_n-b_n-1=n+1（n≥2）
所以${b_n}=\frac{1}{3}{b_{n-1}}+\frac{1}{3}（{n+1}）$（n≥2），
${b_n}-{a_n}=\frac{1}{3}{b_{n-1}}+\frac{1}{3}（{n+1}）$$-\frac{1}{2}n-\frac{1}{4}=\frac{1}{3}{b_{n-1}}$$-\frac{1}{6}n+\frac{1}{12}=\frac{1}{3}$$（{{b_{n-1}}-\frac{1}{2}n+\frac{1}{4}}）$（n≥2），
b_n-1-a_n-1=b_n-1-$\frac{1}{2}（{n-1}）-\frac{1}{4}$=${b_{n-1}}-\frac{1}{2}n+\frac{1}{4}$（n≥2），
所以${b_n}-{a_n}=\frac{1}{3}（{{b_{n-1}}-{a_{n-1}}}）$（n≥2），
因?yàn)閎₁-a₁=-10≠0，b₂-a₂=$\frac{1}{3}$×（-$\frac{37}{4}$）+1-$\frac{5}{4}$=-$\frac{10}{3}$，
所以數(shù)列{b_n-a_n}是以-10為首項(xiàng)，$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得${b_n}-{a_n}=-10×{（{\frac{1}{3}}）^{n-1}}$，
所以${b_n}={a_n}-10×{（{\frac{1}{3}}）^{n-1}}$=$\frac{1}{2}n+\frac{1}{4}-10×{（{\frac{1}{3}}）^{n-1}}$，
${b_n}-{b_{n-1}}=\frac{1}{2}n+\frac{1}{4}-$$10×{（{\frac{1}{3}}）^{n-1}}-\frac{1}{2}（{n-1}）$$-\frac{1}{4}+10×{（{\frac{1}{3}}）^{n-2}}$=$\frac{1}{2}+20×{（{\frac{1}{3}}）^{n-1}}＞0$（n≥2）
所以{b_n}是遞增數(shù)列．
因?yàn)楫?dāng)n=1時(shí)，${b_1}=\frac{3}{4}-10＜0$，當(dāng)n=2時(shí)，${b_2}=\frac{5}{4}-\frac{10}{3}＜0$，
當(dāng)n=3時(shí)，${b_3}=\frac{7}{4}-\frac{10}{9}＞0$，
所以數(shù)列{b_n}從第3項(xiàng)起的各項(xiàng)均大于0，故數(shù)列{b_n}的前2項(xiàng)之和最小．
記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，
則${T_2}=（{\frac{3}{4}-10}）+$$（{\frac{5}{4}-\frac{10}{3}}）=-\frac{34}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推式的運(yùn)用，以及等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的單調(diào)性的運(yùn)用，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．