Question

6．若函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}$-x在區(qū)間（a²-26，a）上有最大值，則實數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A． （-1，5）
• B． （-1，5]
• C． （-1，2）
• D． （-1，2]

Answer 1

分析 求函數(shù)f（x）的導數(shù)，研究其最大值取到的位置，由于函數(shù)在區(qū)間（a²-26，a）上有最大值，故最大值點的橫坐標是集合（a²-26，a）的元素，由此可以得到關于參數(shù)a的等式，解之求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：由題 f'（x）=x²-1，
令f'（x）＜0解得-1＜x＜1；令f'（x）＞0解得x＜-1或x＞1
由此得函數(shù)在（-∞，-1）上是增函數(shù)，在（-1，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)
故函數(shù)在x=-1處取到極大值$\frac{2}{3}$，判斷知此極大值必是區(qū)間（a²-26，a）上的最大值
∴a²-26＜-1＜a，解得-1＜a＜5，
又當x=a時，f（a）=$\frac{1}{3}{a}^{3}-a≤\frac{2}{3}$，故有a≤-2或-1≤a≤2．
綜上知a∈（-1，2]．
故選：D．

點評 本題考查用導數(shù)研究函數(shù)的最值，利用導數(shù)研究函數(shù)的最值是導數(shù)作為數(shù)學中工具的一個重要運用，要注意把握其作題步驟，求導，確定單調(diào)性，得出最值．