Question

【題目】如圖，四邊形是正方形，平面，分別為的中點.

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的大小；

（3）在線段上是否存在一點，使直線與直線所成的角為？若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在，且

【解析】

試題分析：（1）要證明線面平行，只要證線線平行，由中位線定理易得，注意寫出線面平行判定定理的所有條件，都能得出結(jié)論；（2）求二面角，圖形中有交于同一點的兩兩相互垂直的三條直線，如，以它們?yōu)樽鴺?biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，可寫出圖中各點坐標(biāo)，從而求得平面與平面的法向量，由法向量的夾角可得二面角（本題要求的是銳二面角）；（3）存在性命題，研究性命題，一般假設(shè)存在，并設(shè)，其中，這樣可得出點坐標(biāo)，由向量和向量的夾角的余弦值的絕對值等于出兩異面直線的夾角的余弦，由引可求得（如求不出，說明不存在），進而可得線段長．

試題解析：（1）證明：因為分別為的中點，所以

又平面平面

所以平面；

（2）因為平面

所以平面

所以，又因為四邊形是正方形，所以

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

因為，所以

因為分別為的中點，所以

所以

設(shè)為平面的一個法向量，則，即

再令，得

設(shè)為平面的一個法向量，則，即

再令，得，所以

所以平面與平面所成銳二面角的大小為；

（3）假設(shè)在線段上存在一點，使直線與直線所成角為

依題意可設(shè)，其中，由，則

又因為，所以

因為直線與直線所成角為，

所以，即

所以

所以在線段上存在一點，使直線與直線所成角為，此時.