Question

【題目】已知常數(shù)，函數(shù).

(1)討論在區(qū)間上的單調(diào)性；

(2)若存在兩個極值點，且，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2).

【解析】試題分析：

(1)結(jié)合函數(shù)的解析式可得，分類討論有：

當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

在區(qū)間上單調(diào)遞增；

(2)首先確定，結(jié)合題意構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)討論計算可得a的取值范圍是.

試題解析：

（1）

當時，此時，在區(qū)間上單調(diào)遞增

當時，，得

當時，；時，；

故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增

綜上所述，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增

（2）由（1）知，當時，，

此時不存在極值點，因而要使得有兩個極值點，必有

又的極值點只可能是，且由的定義域可知

，所以

解得，此時分別是的極小值點和極大值點，而

令由且知時，當，時，

記

當，，所以

因此，在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而故當時，

當，，所以

因此，在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而

故當時，

綜上所述，滿足條件的a的取值范圍為