Question

2．已知拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程為x=-2．
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過拋物線焦點(diǎn)F的直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=10，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）求得拋物線的準(zhǔn)線方程，可得-$\frac{p}{2}$=-2，解方程可得所求拋物線的方程；
（2）設(shè)出直線方程為y=k（x-2），代入拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，計(jì)算即可得到所求直線的方程．

解答 解：（1）拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{p}{2}$，
由題意可得-$\frac{p}{2}$=-2，解得p=4，
即有拋物線的方程為y²=8x；
（2）拋物線焦點(diǎn)F（2，0）的直線l設(shè)為y=k（x-2），
代入拋物線的方程，可得k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，
即有x₁+x₂=4+$\frac{8}{{k}^{2}}$，
由拋物線的定義可得弦長為x₁+x₂+p=4+$\frac{8}{{k}^{2}}$+4=10，
解得k=±2，
則所求直線的方程為y=±（x-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，考查直線和拋物線的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，弦長公式，屬于中檔題．