Question

12．已知圓C過坐標原點O，且與x軸、y軸分別交于點A、B，圓心坐標為（t，t）（t＞0）．
（1）若△AOB的面積為2，求圓C的方程；
（2）直線2x+y-6=0與圓C交于點D、E，是否存在t使得|OD|=|OE|？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據圓的方程求出A，B的坐標，利用△AOB的面積為2，即可求圓C的方程；
（2）求出DE，OC的斜率，即可得出結論．

解答 解：（1）由題設知，圓C的方程為（x-t）²+（y-t）²=2t²，
當y=0時，x=0或2t，則A（2t，0）；
當x=0時，y=0或2t，則B（0，2t），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$|OA|•|OB|=$\frac{1}{2}$|2t|•|2t|=2，
∵t＞0，
∴t=1．                        
∴圓C的方程為（x-1）²+（y-1）²=2；
（2）∵|OD|=|OE|，∴OC⊥DE，
∵直線DE的斜率k=-2，OC的斜率為1
∴t=2或t=-2．不滿足斜率的積為-1，
∴不存在t使得|OD|=|OE|．

點評 本題主要考查直線和圓的方程的綜合應用，根據條件確定圓的方程是解決本題的關鍵．