Question

如圖，正方形ABDE與等邊△ABC所在平面互相垂直，AB=2，F(xiàn)為BD中點(diǎn)，G為CE中點(diǎn)．
（1）求證：FG∥平面ABC；
（2）求三棱錐F-AEC的體積．

Answer 1

（1）證：取AC中點(diǎn)H，連GH，BH（1分）
∵G為CE中點(diǎn)，∴GH
又F為BD中點(diǎn)，ABDE為正方形，∴BF
∴BFGH為平行四邊形∴FG∥BH（6分）
又BH?面ABC，F(xiàn)G?面ABC∴FG∥平面ABC（8分）
（2）解：∵面ABC⊥面ABDE于AB，EA⊥AB，EA?面ABDE
∴EA⊥面ABC，
∴GH⊥面ABC∴GH⊥BH（10分）
又BH⊥AC，AC∩HG=H∴BH⊥面AEC
∴FG⊥面ACE（12分）
∴（14分）
分析：（1）由題意，可取AC中點(diǎn)H，連GH，BH，證明BFGH為平行四邊形，由此得FG∥BH，再由線面平行的判定定理得出線面平行；
（2）由圖及題設(shè)條件，可先根據(jù)（1）的結(jié)論得出FG垂直EA，再在三角形FEC中證明FG垂直于EC，由此可得FG即是三棱錐F-AEC底面AEC上的高，又底面AEC的面積易求，由體積公式求值即可
點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面平行的證明，棱錐的體積公式求體積，線面垂直的證明，點(diǎn)線面距離的求法，涉及到的關(guān)系較多，熟練掌握空間中點(diǎn)線面位置關(guān)系的判斷方法及相關(guān)的定義定理是解題的關(guān)鍵，本題考查了判斷推理的能力，組織材料進(jìn)行證明的能力，及空間想像能力，是立體幾何中經(jīng)典題的經(jīng)典證法