Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²-cosx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，則滿足f（x₀）＞f（$\frac{π}{6}$）的x₀的取值范圍為[-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{6}$）∪（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]．

Answer 1

分析 先充分考慮函數(shù)f（x）=x²-cosx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]的性質(zhì)，為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故考慮函數(shù)[0，$\frac{π}{2}$]區(qū)間上的情形，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)在[0，$\frac{π}{2}$]單調(diào)遞增，再結(jié)合f（x₀）＞f（$\frac{π}{6}$）和對(duì)稱性即可得x₀的取值范圍．

解答 解：注意到函數(shù)f（x）=x²-cosx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]是偶函數(shù)，
故只需考慮[0，$\frac{π}{2}$]區(qū)間上的情形．
 當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，f′（x）=2x+sinx≥0，
∴函數(shù)在[0，$\frac{π}{2}$]單調(diào)遞增，
所以f（x₀）＞f（$\frac{π}{6}$）在[0，$\frac{π}{2}$]上的解集為（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，
結(jié)合函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
得原問題中x₀取值范圍是[-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{6}$）∪（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，
故答案為：[-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{6}$）∪（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 這是一個(gè)常見考型，應(yīng)引起足夠重視．填寫答案時(shí)，應(yīng)注意區(qū)間的閉、開問題，注意規(guī)范答題，否則將可能因?yàn)楸硎鰡栴}而失去已到手的分．