Question

如圖，已知平面四邊形ABCD中，D為PA的中點(diǎn)，PA⊥AB，CD∥AB，且PA=CD=2AB=4，將此平面四邊形ABCD沿CD折成直二面角P-DC-B，連接PA、PB，設(shè)PB的中點(diǎn)為E，
（Ⅰ）求證：平面PBD⊥平面PBC；
（Ⅱ）求直線AB與平面PBC所成角的正弦值；
（Ⅲ）在線段BD上是否存在一點(diǎn)F，使得EF⊥平面PBC？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)F的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的性質(zhì),平面與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面PBD⊥平面PBC；
（Ⅱ）建立空間坐標(biāo)系，利用向量法即可求出直線AB與平面PBC所成角的正弦值；
（Ⅲ）利用向量法，結(jié)合EF⊥平面PBC的判定定理即可求出點(diǎn)F的位置；

解答： （I）證明：直二面角P-DC-B的平面角為∠PDA=90°，且PD⊥DC，DA∩DC=D，
∴PD⊥平面ABCD，
∵BC?平面ABCD，∴PD⊥BC，
則BC=BD=

AB2+AD2

=2

2

，
在三角形BCD中，BC²+BD²=CD²，
∴BD⊥BC，
∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD，
∵BC?平面PBC，
∴平面PBD⊥平面PBC．
（II）∵PD，PA，DC兩兩垂直，PA=CD=2AB=4，
∴AB=2，∵E是PB的中點(diǎn)，
∴AD=DP=2，
則建立以D為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系如圖，
則A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），D（0，0，0），P（0，0，2），
則

AB

=（0，2，0），

BC

=（-2，2，0），

PC

=（0，4，-2）．
設(shè)平面PBC的法向量為

n

=（x，y，z），
則由

BC • n =-2x+2y=0 PC • n =4y-2z=0

，令x=1，則y=1，z=2，即

n

=（1，1，2），
則cos＜

AB

，

n

＞=

AB • n

| AB |•|n|

=

2

2× 6

=

6

6

，
∴直線AB和平面PBC所成角的正弦值等于cos＜

AB

，

n

＞=

6

6

，
（III）∵F∈BD，故可設(shè)F（m，m，0），而PB的中點(diǎn)E（1，1，1），
∴

EF

=(m-1，m-1，-1)，
∵

EF

•

BC

=0，

EF

•

PC

=0，
∴

-2(m-1)+2(m-1)=0 4(m-1)+(-1)×(-2)=0

，解得m=

1

2

，
∴線段BD上是否存在一點(diǎn)F（

1

2

，

1

2

，0），使EF⊥平面PBC．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間面面垂直的判斷，以及線面垂直，線面角的求解，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理以及利用空間向量法是解決本題的關(guān)鍵．