Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n（n∈N^*），且S_n=3n²．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）記T_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，若

bn

是

1

an

，

1

an+1

的等比中項，求T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由數(shù)列的和求得首項，再由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求得a_n，驗證n=1后得答案；
（Ⅱ）由

bn

是

1

an

，

1

an+1

的等比中項得到b_n，然后利用裂項相消法求T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由S_n=3n²，
當(dāng)n=1時，a₁=3．
當(dāng)n＞1時，a_n=S_n-S_n-1=6n-3（n≥2）．
驗證n=1時上式成立．
∴a_n=6n-3；
（Ⅱ）∵

bn

是

1

an

，

1

an+1

的等比中項，
∴bn=

1

anan+1

=

1

(6n-3)(6n+3)

=

1

6

(

1

6n-3

-

1

6n+3

)．
∴Tn=

1

6

[(

1

3

-

1

9

)+(

1

9

-

1

15

)+…+(

1

6n-3

-

1

6n+3

)]
=

1

6

(

1

3

-

1

6n+3

)=

n

9(2n+1)

．

點評：本題考查了由數(shù)列的和求數(shù)列的通項公式，考查了裂項相消法求數(shù)列的和，是中檔題．