Question

商家通常依據(jù)“樂觀系數(shù)準則”確定商品銷售價格，即根據(jù)商品的最低銷售限價a，最高銷售限價b（b＞a）以及實數(shù)x（0＜x＜1）確定實際銷售價格c=a+x（b-a）．這里x被稱為樂觀系數(shù)，經(jīng)驗表明，最佳樂觀系數(shù)x恰好使得（c-a）是（b-c）和（b-a）的等比中項，某省為規(guī)范汽油市場，維護生產(chǎn)者的合法權(quán)益和消費者的長遠利益，發(fā)改委發(fā)出通知，決定自9月28日零時起，0號柴油每升限價在[7.40，7.90]內(nèi)（單位：元）
（1）試求出最佳樂觀系數(shù)的值以及由此確定的0號柴油的銷售價格（價格精確到0.01，參考值

5

≈2.24）；
（2）某加油站老板做了一個市場調(diào)查后發(fā)現(xiàn)：若按最高銷售限價出售則9月28號當天銷售1500升，以后每天銷售量將比前一天減少100升；若根據(jù)“樂觀系數(shù)準則”確定柴油銷售價格，每天的銷售量穩(wěn)定在1500升左右，若0號柴油的成本為每升7.01元，自9月28日起未來10天內(nèi)加油站采用哪種銷售價格出售將獲利更多？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題設(shè)條件，由（c-a）是（b-c）和（b-a）的等比中項，知[x（b-a）]²=（b-a）²-x（b-a）²，由此能求出最佳樂觀系數(shù)x的值，從而可以求得0號柴油的銷售價格；
（2）根據(jù)獲利=銷售收入-成本，分別按兩種銷售價格和銷售量求解利潤，比較即可得到答案．

解答：解：（1）∵c=a+x（b-a），即-c=-a-x（b-a），
∴b-c=（b-a）-x（b-a），①
∵（c-a）是（b-c）和（b-a）的等比中項，即（b-c）（b-a）=（c-a）²，
將①兩邊同乘以（b-a），可得（b-c）（b-a）=（b-a）²-x（b-a）²，即（c-a）²=（b-a）²-x（b-a）²，②
根據(jù)c=a+x（b-a），可得c-a=x（b-a），則（c-a）²=[x（b-a）]²，③
由②③可得，[x（b-a）]²=（b-a）；-x（b-a）²，
∵b＞a，則b-a＞0，
∴x²+x-1=0，解得x=

-1± 5

2

，
∵0＜x＜1，
∴x=

-1+ 5

2

∴最佳樂觀系數(shù)x的值為

-1+ 5

2

；
根據(jù)0號柴油每升限價在[7.40，7.90]內(nèi)，則a=7.40，b=7.90，
∴0號柴油的銷售價格為c=a+x（b-a）=7.40+

-1+ 5

2

×（7.90-7.40）≈7.71元；
（2）按第一種方案銷售，則自9月28日起未來10天內(nèi)銷售量為1500+1400+…+600=10500升，銷售價格為最高銷售限價7.90元，0號柴油的成本為每升7.01元，
則獲利y₁=（7.90-7.01）×10500=9345元；
按第二種方案銷售，則自9月28日起未來10天內(nèi)銷售量為1500×10=15000升，根據(jù)“樂觀系數(shù)準則”確定柴油銷售價格為7.71元，0號柴油的成本為每升7.01元，
則獲利y₂=（7.71-7.01）×15000=10500元．
∵10500＞9345，
∴自9月28日起未來10天內(nèi)加油站采用第二種銷售價格出售將獲利更多，即按“樂觀系數(shù)準則”確定柴油銷售價格7.71元出售將獲利更多．

點評：本題考查了函數(shù)在實際生產(chǎn)生活中的應用，解題的關(guān)鍵是正確的審題理解題意建立合適的數(shù)學模型，然后根據(jù)相關(guān)的數(shù)學知識解題．本題還考查了等比中項，等差數(shù)列求和的概念．屬于難題．