【題目】已知函數(shù)f(x)= 滿足:f(1)=1,f(﹣2)=4.
(1)求a,b的值,并探究是否存在常數(shù)c,使得對(duì)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的任意x,都有f(x)+f(c﹣x)=4成立;
(2)當(dāng)x∈[1,2]時(shí),不等式f(x)≤ 恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】
(1)解:由 ,得 ,解得 .
∴ (x≠﹣1).
方法1:假設(shè)存在常數(shù)c符合要求,即f(x)+f(c﹣x)=4,x≠﹣1成立.
特別當(dāng)x=0時(shí)有f(0)+f(c)=4,即 ,解得c=﹣2.
下面證明f(x)+f(﹣2﹣x)=4,x≠﹣1恒成立.事實(shí)上,當(dāng)x≠﹣1時(shí),
則f(x)+f(﹣2﹣x)= = .
∴存在常數(shù)c=﹣2,滿足題設(shè)要求;
方法2:假設(shè)存在常數(shù)c符合要求,即f(x)+f(c﹣x)=4,x≠﹣1成立.
則 ,
即 ,
變形得,﹣x2+(c﹣1)x+c=﹣x2+(c﹣1)x+2(c+1),
整理得,c=﹣2.
∴存在常數(shù)c=﹣2,滿足題設(shè)要求
(2)解:不等式f(x)≤ 即為 對(duì)x∈[1,2]恒成立,
即 對(duì)x∈[1,2]恒成立,
故必有0<m<1或m>2
在0<m<1或m>2下,問(wèn)題化為 對(duì)x∈[1,2]恒成立,
即mx﹣m≤x2≤mx+m對(duì)x∈[1,2]恒成立,
①當(dāng)x=1時(shí), 或m>2.
②當(dāng)x≠1時(shí), 且 對(duì)x∈[1,2]恒成立,
對(duì)于 對(duì)x∈[1,2]恒成立,等價(jià)于 ,
令t=x+1,x∈[1,2],則x=t﹣1,t∈(2,3],
,t∈(2,3]遞增,
∴ ,
即 ,結(jié)合0<m<1或m>2,
∴m>2.
對(duì)于 對(duì)x∈[1,2]恒成立,等價(jià)于 ,
令t=x﹣1,x∈[1,2],則x=t+1,t∈(0,1],
,t∈(0,1]遞減,
∴ ,
∴m≤4,結(jié)合0<m<1或m>2,
∴0<m<1或2<m≤4,
綜上,實(shí)數(shù)m的取值范圍為2<m≤4
【解析】(1)由 ,得 ,解得a,b的值, 方法1:假設(shè)存在常數(shù)c符合要求,即f(x)+f(c﹣x)=4,x≠﹣1成立,特別當(dāng)x=0時(shí),解得c的值,然后證明
f(x)+f(﹣2﹣x)=4,x≠﹣1恒成立,當(dāng)x≠﹣1時(shí),則f(x)+f(﹣2﹣x)=4,故存在常數(shù)c=﹣2,滿足題設(shè)要求;
方法2:假設(shè)存在常數(shù)c符合要求,即f(x)+f(c﹣x)=4,x≠﹣1成立,則 ,變形得,﹣x2+(c﹣1)x+c=﹣x2+(c﹣1)x+2(c+1),整理得c的值,故存在常數(shù)c=﹣2,滿足題設(shè)要求;(2)不等式f(x)≤ 即為 對(duì)x∈[1,2]恒成立,即 對(duì)x∈[1,2]恒成立,則0<m<1或m>2,進(jìn)一步化為 對(duì)x∈[1,2]恒成立,即mx﹣m≤x2≤mx+m對(duì)x∈[1,2]恒成立,再分類討論①當(dāng)x=1時(shí), 或m>2,②當(dāng)x≠1時(shí),求出0<m<1或2<m≤4,綜上,實(shí)數(shù)m的取值范圍可求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知在三棱錐中,底面,,,是的中點(diǎn),是線段上的一點(diǎn),且,連接.
(l)求證:平面;
(2)求直線與平面所成角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知a∈R,函數(shù)f(x)=ex﹣1﹣ax的圖象與x軸相切. (Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)x>1時(shí),f(x)>m(x﹣1)lnx,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知集合,集合
當(dāng)時(shí),求集合和集合B;
若集合為單元素集,求實(shí)數(shù)m的取值集合;
若集合的元素個(gè)數(shù)為個(gè),求實(shí)數(shù)m的取值集合
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為,(為參數(shù)),圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求直線和圓的極坐標(biāo)方程;
(2)若射線與的交點(diǎn)為,與圓的交點(diǎn)為,且點(diǎn)恰好為線段的中點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】觀察下列等式:12=1,12﹣22=﹣3,12﹣22+32=6,12﹣22+32﹣42=﹣10,…由以上等式推測(cè)到一個(gè)一般的結(jié)論:對(duì)于n∈N* , 12﹣22+32﹣42+…+(﹣1)n+1n2= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在正整數(shù)數(shù)列中,由1開(kāi)始依次按如下規(guī)則,將某些整數(shù)染成紅色,先染1;再染3個(gè)偶數(shù)2,4,6;再染6后面最鄰近的5個(gè)連續(xù)奇數(shù)7,9,11,13,15;再染15后面最鄰近的7個(gè)連續(xù)偶數(shù)16,18,20,22,24,26,28;再染此后最鄰近的9個(gè)連續(xù)奇數(shù)29,31,…,45;按此規(guī)則一直染下去,得到一紅色子數(shù)列:1,2,4,6,7,9,11,13,15,16,……,則在這個(gè)紅色子數(shù)列中,由1開(kāi)始的第2019個(gè)數(shù)是( )
A. 3972 B. 3974 C. 3991 D. 3993
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為比較甲、乙兩地某月14時(shí)的氣溫狀況,隨機(jī)選取該月中的5天,將這5天中14時(shí)的氣溫?cái)?shù)據(jù)(單位:℃)制成如圖所示的莖葉圖.考慮以下結(jié)論:
①甲地該月14時(shí)的平均氣溫低于乙地該月14時(shí)的平均氣溫;
②甲地該月14時(shí)的平均氣溫高于乙地該月14時(shí)的平均氣溫;
③甲地該月14時(shí)的平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙地該月14時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差;
④甲地該月14時(shí)的平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙地該月14時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差.
其中根據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計(jì)結(jié)論的標(biāo)號(hào)為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中, ,AB=AC=AA1=1,已知G和E分別為A1B1和CC1的中點(diǎn),D與F分別為線段AC和AB上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),若GD⊥EF,則線段DF的長(zhǎng)度的取值范圍為( )
A.[ ,1)
B.[ ,1]
C.( ,1)
D.[ ,1)
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