Question

艦A在艦B的正東6千米處，艦C在艦B的北偏西30°且與B相距4千米，它們準(zhǔn)備捕海洋動(dòng)物，某時(shí)刻A發(fā)現(xiàn)動(dòng)物信號(hào)，4秒后B、C同時(shí)發(fā)現(xiàn)這種信號(hào)，A發(fā)射麻醉炮彈  設(shè)艦與動(dòng)物均為靜止的，動(dòng)物信號(hào)的傳播速度為1千米/秒，若不計(jì)空氣阻力與艦高，問(wèn)艦A發(fā)射炮彈的方位角應(yīng)是多少？

Answer 1

分析：對(duì)空間物體的定位，一般可利用聲音傳播的時(shí)間差來(lái)建立方程．由于B、C同時(shí)發(fā)現(xiàn)動(dòng)物信號(hào)，記動(dòng)物所在位置為P，則P在線段BC的中垂線上，又由A、B兩艦發(fā)現(xiàn)動(dòng)物信號(hào)的時(shí)間差為4秒，知|PB|-|PA|=4，從而P在雙曲線的右支上，所以可確定P的坐標(biāo)，從而問(wèn)題得解．

解答：解：取AB所在直線為x軸，以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系  由題意可知，A、B、C艦的坐標(biāo)為（3，0）、（-3，0）、（-5，2

3

），由于B、C同時(shí)發(fā)現(xiàn)動(dòng)物信號(hào)，記動(dòng)物所在位置為P，則|PB|=|PC|于是P在線段BC的中垂線上，易求得其方程為

3

x-3y+7

3

=0．
又由A、B兩艦發(fā)現(xiàn)動(dòng)物信號(hào)的時(shí)間差為4秒，知|PB|-|PA|=4，故知P在雙曲線

x2

4

-

y2

5

=1的右支上直線與雙曲線的交點(diǎn)為（8，5

3

），此即為動(dòng)物P的位置，利用兩點(diǎn)間距離公式，可得|PA|=10，
據(jù)已知兩點(diǎn)的斜率公式，得k_PA=

3

，所以直線PA的傾斜角為60°，于是艦A發(fā)射炮彈的方位角應(yīng)是北偏東30°．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查從實(shí)際問(wèn)題中構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，考查軌跡方程的求解，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．