Question

8．已知復(fù)數(shù)z=x+yi，x，y∈R，且|z-3|=1，則x²+y²+4x+1的最大值為33．

Answer 1

分析 復(fù)數(shù)z=x+yi，x，y∈R，設(shè)P（x，y），由|z-3|=1，表示以（3，0）為圓心，1為半徑的圓．則x²+y²+4x+1=（x+2）²+y²-3．求出點Q（-2，0）與點Q的距離|PQ|，即可得出．

解答 解：復(fù)數(shù)z=x+yi，x，y∈R，設(shè)P（x，y），
由|z-3|=1，表示復(fù)平面上以（3，0）為圓心，1為半徑的圓．
則x²+y²+4x+1=（x+2）²+y²-3．
點Q（-2，0）與點Q的距離|PQ|=$\sqrt{（3+2）^{2}+0}$=5．
∴（x²+y²+4x+1）_max=（5+1）²-3=33．
故答案為：33．

點評 本題考查了復(fù)數(shù)形式的圓的方程、兩點之間的距離公式、點與圓的位置關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．