Question

10．已知數(shù)列{a_n}是公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，且1-a₂是a₁與1+a₃的等比中項(xiàng)，數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和T_n滿足T_n=nλ•b_n+1（λ為常數(shù)，且λ≠1），其中b₁=8．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及λ的值； 
（2）比較$\frac{1}{T_1}+\frac{1}{T_2}+\frac{1}{T_3}+…+\frac{1}{T_n}$與$\frac{1}{2}{S_n}$的大�。�

Answer 1

分析 （1）由題意得（1-a₂）²=a₁（a₃+1），即（1-$\frac{1}{2}{a}_{1}$）²=a₁（$\frac{1}{4}{a}_{1}$+1），推導(dǎo)出a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ．設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差為d，由$\left\{\begin{array}{l}{{T}_{1}=λ{(lán)b}_{2}}\\{{T}_{2}=2λ{(lán)b}_{3}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{8=λ（8+d）}\\{16+d=2λ（8+2d）}\end{array}\right.$，求出λ=$\frac{1}{2}$．
（2）由S_n=1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ，得$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}-（\frac{1}{2}）^{n+1}≥\frac{1}{4}$，由T_n=$\frac{1}{2}n_{n+1}$，求出b_n=8n，T_n=4n²+4n，從而$\frac{1}{{T}_{n}}$=$\frac{1}{4n（n+1）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，由此利用裂項(xiàng)求和法能推導(dǎo)出$\frac{1}{T_1}+\frac{1}{T_2}+\frac{1}{T_3}+…+\frac{1}{T_n}$＜$\frac{1}{2}{S}_{n}$．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}是公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，且1-a₂是a₁與1+a₃的等比中項(xiàng)，
∴由題意得（1-a₂）²=a₁（a₃+1），即（1-$\frac{1}{2}{a}_{1}$）²=a₁（$\frac{1}{4}{a}_{1}$+1），
解得a₁=$\frac{1}{2}$．故a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ．
設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差為d，
∵數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和T_n滿足T_n=nλ•b_n+1（λ為常數(shù)，且λ≠1），其中b₁=8．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{T}_{1}=λ{(lán)b}_{2}}\\{{T}_{2}=2λ{(lán)b}_{3}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{8=λ（8+d）}\\{16+d=2λ（8+2d）}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{1}{2}}\\{d=8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{λ=1}\\{d=0}\end{array}\right.$（舍去），故λ=$\frac{1}{2}$..…（5分）
（2）由（1）知S_n=1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ，則$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}-（\frac{1}{2}）^{n+1}≥\frac{1}{4}$．①
由（1）知T_n=$\frac{1}{2}n_{n+1}$，
當(dāng)n=1時(shí)，T₁=b₁=$\frac{1}{2}$b₂，即b₂=2b₁=16，
∴公差d=b₂-b₁=8，則b_n=8n，又T_n=nλ•b_n+1，
∴T_n=4n²+4n，即$\frac{1}{{T}_{n}}$=$\frac{1}{4n（n+1）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴$\frac{1}{T_1}+\frac{1}{T_2}+\frac{1}{T_3}+…+\frac{1}{T_n}$=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）＜\frac{1}{4}$．②
由①②可知$\frac{1}{T_1}+\frac{1}{T_2}+\frac{1}{T_3}+…+\frac{1}{T_n}$＜$\frac{1}{2}{S}_{n}$..…（12分）

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式及實(shí)數(shù)值的求法，考查兩個(gè)數(shù)列和關(guān)于前n項(xiàng)和代數(shù)式的大小的判斷，考查等經(jīng)數(shù)列、等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．