Question

18．S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．已知S_n=n²+2n
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列滿足{b_n}滿足log₂b_n=n+log₂（a_n-2），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）已知數(shù)列{c_n}滿足c_n=-$\frac{{{T_n}-6}}{{{2^{n+1}}}}$+8，若對(duì)任意n∈N^*，存在x₀∈[-2，2]，使得c₁+c₂+c₃+…+c_n≤x²+x-2a，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用數(shù)列的遞推式，令n=1，求出首項(xiàng)；再將n換為n-1，兩式相減，化簡(jiǎn)即可得到所求通項(xiàng)公式；
（2）運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得b_n=（2n-1）•2ⁿ，再由數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求和；
（3）求得c_n=-$\frac{{{T_n}-6}}{{{2^{n+1}}}}$+8=8-（2n-3）=11-2n，運(yùn)用等差數(shù)列求和．由二次函數(shù)的性質(zhì)，可得數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和的最大值，求得x²+x-2a的最大值，由題意可得a的不等式，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）由題知，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1+2=3，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=n²+2n，所以S_n-1=（n-1）²+2（n-1），
兩式相減得到a_n=2n+1，對(duì)n=1也成立，
a_n=2n+1，n∈N*．
（2）由（1）知a_n=2n+1，{b_n}滿足log₂b_n=n+log₂（a_n-2），
=n+log₂（2n-1），
所以b_n=（2n-1）•2ⁿ，
因此前n項(xiàng)和T_n=1•2¹+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ，①
2T_n=1•2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，②
由①-②得到-T_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+2•$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=-6+（3-2n）•2ⁿ⁺¹，
所以T_n=6+（2n-3）•2ⁿ⁺¹．
（3）由（2）知T_n=6+（2n-3）•2ⁿ⁺¹，
c_n=-$\frac{{{T_n}-6}}{{{2^{n+1}}}}$+8=8-（2n-3）=11-2n，
則c₁+c₂+c₃+…+c_n=$\frac{1}{2}$n（9+11-2n）=n（10-n），
當(dāng)n=5時(shí)，c₁+c₂+c₃+…+c_n取得最大值為25，
又x∈[-2，2]，y=x²+x-2a在（-2，-$\frac{1}{2}$）遞減，（-$\frac{1}{2}$，2）遞增，
可得其最大值為4+2-2a=6-2a．
因?yàn)閷?duì)任意n∈N^*，存在x₀∈[-2，2]，使得c₁+c₂+c₃+…+c_n≤x²+x-2a，
所以25≤6-2a，
解得a≤-$\frac{19}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，同時(shí)考查等比數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，以及不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，求最值，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于難題．