Question

在△ABC中，cos²

A

2

=

b+c

2c

（a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊），則△ABC的形狀為

直角三角形

．

Answer 1

分析：在△ABC中，利用二倍角的余弦與正弦定理可將已知cos²

A

2

=

b+c

2c

轉(zhuǎn)化為1+cosA=

sinB

sinC

+1，整理即可判斷△ABC的形狀．

解答：解：在△ABC中，∵cos²

A

2

=

b+c

2c

，
∴

1+cosA

2

=

sinB+sinC

2sinC

=

1

2

sinB

sinC

+

1

2

∴1+cosA=

sinB

sinC

+1，
∴cosAsinC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC=0，sinA≠0，
∴cosC=0，
∴C為直角．
故答案為：直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形的形狀判斷，著重考查二倍角的余弦與正弦定理，誘導(dǎo)公式的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．