Question

已知橢圓

x2

49

+

y2

24

=1上一點(diǎn)P與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁、F₂的連線互相垂直．
（1）求離心率和準(zhǔn)線方程；
（2）求△PF₁F₂的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出橢圓的a，b，c，運(yùn)用離心率公式和準(zhǔn)線方程，即可求得；
（2）根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)P與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的連線互相垂直以及點(diǎn)P在橢圓上，求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，從而計(jì)算出△PF₁F₂的面積．

解答： 解：（1）橢圓

x2

49

+

y2

24

=1的a=7，b=2

6

，c=

49-24

=5，
則離心率e=

c

a

=

5

7

，準(zhǔn)線方程為：x=±

a2

c

，即為x=±

49

5

；
（2）由（1）知 a=7，b=2

6

，c=5，
兩個(gè)焦點(diǎn)F₁ （-5，0），F(xiàn)₂（5，0），
設(shè)點(diǎn)P（m，n），則由題意得

n

m+5

•

n

m-5

=-1，

m2

49

+

n2

24

=1，n²=

242

25

，即有n=±

24

5

，
則△PF₁F₂的面積為S=

1

2

×2c×|n|=

1

2

×10×

24

5

=24．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩直線垂直時(shí)斜率之積等于-1，以及橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．