已知F1、F2分別為橢圓
x2
16
+
y2
9
=1
的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓上,若P、F1、F2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn),則△PF1F2的面積為
9
7
4
9
7
4
分析:根據(jù)橢圓方程求得c=
7
<b,從而判斷出點(diǎn)P對(duì)兩個(gè)焦點(diǎn)張角的最大值小于90°,可得直角三角形的直角頂點(diǎn)在焦點(diǎn)處,再利用橢圓的方程算出點(diǎn)P到F1F2軸的距離,利用三角形面積公式加以計(jì)算,可得△PF1F2的面積.
解答:解:設(shè)橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M,
∵橢圓
x2
16
+
y2
9
=1
中,a=4且b=3,∴c=
a2-b2
=
7
<b
由此可得∠OMF1<45°,得到∠F1MF2<90°,
∴若△PF1F2是直角三角形,只能是∠PF1F2=90°或∠PF2F1=90°.
令x=±
7
,得y2=9(1-
7
16
)
=
81
16
,解得|y|=
9
4

即P到F1F2軸的距離為
9
4
,
∴△PF1F2的面積S=
1
2
|F1F2
9
4
=
9
7
4

故答案為:
9
7
4
點(diǎn)評(píng):本題給出點(diǎn)P是橢圓上與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn),求△PF1F2的面積.著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和三角形的面積計(jì)算等知識(shí),屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知F1、F2分別為橢圓
x2
25
+
y2
9
=1的左、右焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),Q是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若|
PF1
|-|
PF2
|=4,則
PQ
•(
PF1
-
PF2
)=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知F1,F(xiàn)2分別為橢圓
x2
3
+
y2
2
=1
的左、右焦點(diǎn),直線(xiàn)l1過(guò)點(diǎn)F1且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸,動(dòng)直線(xiàn)l2垂直于直線(xiàn)l1,垂足為D,線(xiàn)段DF2的垂直平分線(xiàn)交l2于點(diǎn)M.
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)F1作直線(xiàn)交曲線(xiàn)C于兩個(gè)不同的點(diǎn)P和Q,設(shè)
F1P
F1Q
,若λ∈[2,3],求
F2P
F2Q
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知F1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),橢圓上點(diǎn)M的橫坐標(biāo)等于右焦點(diǎn)的橫坐標(biāo),其縱坐標(biāo)等于短半軸長(zhǎng)的
2
3
,則橢圓的離心率為
5
3
5
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知F1,F(xiàn)2分別為雙曲線(xiàn)x2-
y2
4
=1
的左、右焦點(diǎn),P是雙曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)F1作∠F1PF2的平分線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足為H,則點(diǎn)H的軌跡為( 。

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