在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=4，AD=2，O時(shí)它的中心，過(guò)點(diǎn)O任作一直線與長(zhǎng)方形的邊交于M，N兩點(diǎn)，P是長(zhǎng)方形邊界上任意一點(diǎn)，則
PM
•
PN
的最大值為
 
．
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用
分析：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．
OM
+
ON
=
0
．于是
PM
•
PN
=(
OM
-
OP
)•(
ON
-
OP
)=
OM
•
ON
+
OP
2，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為矩形的一個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別為邊AB、CD的中點(diǎn)時(shí)取得最大值．
解答： 解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．
OM
+
ON
=
0
．
則
PM
•
PN
=(
OM
-
OP
)•(
ON
-
OP
)
=
OM
•
ON
-
OP
•(
OM
+
ON
)+
OP
2
=
OM
•
ON
+
OP
2
≤(
5
)2-12=4，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為矩形的一個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別為邊AB、CD的中點(diǎn)時(shí)取等號(hào)．
故最大值為：4．
故答案為：4．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量的三角形法則、向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在半圓O中，C是圓O上一點(diǎn)，直徑AB⊥CD，垂足為D，DE⊥BC，垂足為E，若AB=6，AD=1，則CE•BC=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知圓O：x2+y2=1和點(diǎn)A（-2，0），若存在定點(diǎn)B（b，0）（b≠-2）和常數(shù)λ滿足：對(duì)圓O上任意一點(diǎn)M，都有|MB|=λ|MA|，則點(diǎn)P（b，λ）到直線（m+n）x+ny-2n-m=0距離的最大值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若不等式ax2＞lnx+1對(duì)任意x∈（0，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，以兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)面積為8的正方形，求橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=2014，且an+2an+1+an+2=0（n∈N*），則S2014=（　�。�
A、2013B、2014
C、1D、0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知⊙C的一條直徑的端點(diǎn)分別是M（-2，0），N（0，2）
（Ⅰ）求⊙C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P（1，-1）作⊙C的兩條切線，切點(diǎn)分別是A，B，求
PA
•
PB
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)f（x）=lg（
2
1+x
+a）是奇函數(shù)，則a的取值（　�。�
A、
1
2
B、-
1
2
C、1
D、-1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足a1=0，an+1=an+2n，那么a2009的值是（　�。�
A、20092
B、2008×2007
C、2009×2010
D、2008×2009

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