【題目】在平面直角坐標系中,已知圓經(jīng)過拋物線與坐標軸的三個交點.
(1)求圓的方程;
(2)經(jīng)過點的直線與圓相交于,兩點,若圓在,兩點處的切線互相垂直,求直線的方程.
【答案】(1)(2)和.
【解析】
(1)方法一、求得拋物線與坐標軸的三個交點,設(shè)出圓的一般式方程,代入三點坐標,解方程組可得D,E,F,即可得到所求圓方程;方法二、由拋物線方程與圓的一般式方程,可令y=0,可得D,F,再由拋物線與y軸的交點,可得E,即可得到所求圓方程;
(2)求圓C的圓心和半徑,圓C在A,B兩點處的切線互相垂直,可得∠ACB,求得C到直線l的距離,討論直線l的斜率是否存在,由點到直線的距離公式,計算可得所求直線方程.
(1)方法一:拋物線與坐標軸的三個交點坐標為,,.
設(shè)圓的方程為,
則 , 解得
所以圓的方程為.
方法二:設(shè)圓的方程為.
令,得.
因為圓經(jīng)過拋物線與軸的交點,
所以與方程同解,
所以,.
因此圓.
因為拋物線與軸的交點坐標為,
又所以點也在圓上,所以,解得.
所以圓的方程為.
(2)由(1)可得,圓:,
故圓心,半徑.
因為圓在,兩點處的切線互相垂直,所以.
所以到直線的距離.
① 當直線的斜率不存在時, ,符合題意;
② 當直線的斜率存在時,設(shè),即,
所以,解得,
所以直線,即.
綜上,所求直線的方程為和.
方法三:①當直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程為,
,,將直線的方程代入圓的方程得:
,
即
,.
因為圓在點,兩點處的切線互相垂直,所以,
所以,即,
所以,
即,
即,
,
即,解得,所以直線:,
即.
②當直線的斜率不存在時,:,符合題意;
綜上,所求直線的方程為和.
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【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)當時,討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若在區(qū)間上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當x≤0時,f(x)=x2+2x.
(1)現(xiàn)已畫出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖象,如圖所示,請補全函數(shù)f(x)的圖象;
(2)求出函數(shù)f(x)(x>0)的解析式;
(3)若方程f(x)=a恰有3個不同的解,求a的取值范圍.
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【題目】“雙十二”是繼“雙十一”之后的又一個網(wǎng)購狂歡節(jié),為了刺激“雙十二”的消費,某電子商務(wù)公司決定對“雙十一”的網(wǎng)購者發(fā)放電子優(yōu)惠券.為此,公司從“雙十一”的網(wǎng)購消費者中用隨機抽樣的方法抽取了100人,將其購物金額(單位:萬元)按照, 分組,得到如下頻率分布直方圖:
根據(jù)調(diào)查,該電子商務(wù)公司制定了發(fā)放電子優(yōu)惠券的辦法如下:
(1)求購物者獲得電子優(yōu)惠券金額的平均數(shù);
(2)從購物者中隨機抽取10人,這10人中獲得電子優(yōu)惠券的人數(shù)為,求的數(shù)學期望.
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【題目】在平面直角坐標系中,點,分別是橢圓 的左、右焦點,過點且與軸垂直的直線與橢圓交于,兩點.若為銳角,則該橢圓的離心率的取值范圍是_____
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【題目】在一次社會實踐活動中,某數(shù)學調(diào)研小組根據(jù)車間持續(xù)5個小時的生產(chǎn)情況畫出了某種產(chǎn)品的總產(chǎn)量(單位:千克)與時間(單位:小時)的函數(shù)圖像,則以下關(guān)于該產(chǎn)品生產(chǎn)狀況的正確判斷是( ).
A.在前三小時內(nèi),每小時的產(chǎn)量逐步增加
B.在前三小時內(nèi),每小時的產(chǎn)量逐步減少
C.最后一小時內(nèi)的產(chǎn)量與第三小時內(nèi)的產(chǎn)量相同
D.最后兩小時內(nèi),該車間沒有生產(chǎn)該產(chǎn)品
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