Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）證明：當(dāng)時，恒成立；

（2）若函數(shù)在上只有一個零點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）或

【解析】

（1）對函數(shù)求導(dǎo)，得到函數(shù)的最小值為2，即可證明.

（2對a分類討論，易得a=0時無零點(diǎn)，a<0和a>0時求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值，通過分析特殊點(diǎn)的函數(shù)值即可得到結(jié)論．

（1）f′（x）=，

令f′（x）=0，得到x=0,

當(dāng)x<0時，f′（x）<0，單調(diào)遞減，

當(dāng)x>0時，f′（x）>0，單調(diào)遞增, ∴在x=0處取得最小值.

,

∴.

（2）當(dāng)a=0時，>0恒成立，無零點(diǎn)，與題意不符；

當(dāng)a<0時，f′（x）=,在R上單調(diào)遞增,

又x=時,=-1+a<1-1+a<0,x=1時，=e>0，

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，在R上有唯一零點(diǎn)，

當(dāng)a>0時，f′（x）=

令f′（x）=，x=lna,

，f(x)單減，

，f(x)單增，

在x=lna處取得最小值，f（lna）=a-a(lna-1)=a(2-lna)=0，

Lna=2，所以a=

∴當(dāng)a<0或a=時，在R上有唯一的零點(diǎn).