【題目】已知函數(shù)

(1)證明:當(dāng)時(shí),恒成立;

(2)若函數(shù)上只有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.

【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)

【解析】

(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),得到函數(shù)的最小值為2,即可證明.

(2對(duì)a分類討論,易得a=0時(shí)無(wú)零點(diǎn),a<0和a>0時(shí)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值,通過(guò)分析特殊點(diǎn)的函數(shù)值即可得到結(jié)論.

(1)f′(x)=,

f′(x=0,得到x=0,

當(dāng)x<0時(shí),f′(x)<0,單調(diào)遞減,

當(dāng)x>0時(shí),f′(x)>0,單調(diào)遞增,在x=0處取得最小值.

,

.

(2)當(dāng)a=0時(shí),>0恒成立,無(wú)零點(diǎn),與題意不符;

當(dāng)a<0時(shí),f′(x)=,在R上單調(diào)遞增,

又x=時(shí),=-1+a<1-1+a<0,x=1時(shí),=e>0,

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理,在R上有唯一零點(diǎn),

當(dāng)a>0時(shí),f′(x)=

f′(x)=,x=lna,

,f(x)單減,

,f(x)單增

x=lna處取得最小值,f(lna)=a-a(lna-1)=a(2-lna)=0,

Lna=2,所以a=

當(dāng)a<0或a=時(shí),R上有唯一的零點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

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