Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AD⊥平面BCC₁B₁； 
（Ⅱ）求證：A₁C∥平面AB₁D．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正棱柱的性質(zhì)，得到CC₁⊥平面ABC，得CC₁⊥AD，正三角形ABC中利用“三線合一”證出AD⊥BC，利用線面垂直判定定理即可證出AD⊥面BCC₁B₁．
（2）連結(jié)A₁B，交AB₁于E，連接DE，△A₁BC中利用中位線定理證出DE∥A₁C，利用線面平行判定定理即可證出
A₁C∥平面AB₁D．

解答：證明：（1）∵棱柱ABC-A₁B₁C₁為正三棱柱
∴CC₁⊥平面ABC，
又∵AD?平面ABC，∴CC₁⊥AD
又∵正三角形ABC中，D是BC的中點(diǎn)．
∴AD⊥BC
∵BC∩CC₁=C，∴AD⊥面BCC₁B₁．
（2）連結(jié)A₁B，交AB₁于E，連接DE，
∵D為BC的中點(diǎn)，E是A₁B的中點(diǎn)，
∴DE∥A₁C且DE=

1

2

A₁C
又∵A₁C?平面AB₁D，DE?平面AB₁D．
∴A₁C∥平面AB₁D．

點(diǎn)評(píng)：本題在正三棱柱中證明線面垂直和線面平行，著重考查了正棱柱的性質(zhì)、線面垂直平行的判定與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．