Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且（S_n-1）²=a_nS_n．
（Ⅰ）求a₁；
（Ⅱ）求證：數(shù)列{

1

Sn-1

}為等差數(shù)列；
（Ⅲ）是否存在正整數(shù)m，k，使

1

akSk

=

1

am

+19成立？若存在，求出m，k；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：等差關(guān)系的確定,數(shù)列遞推式

專題：計算題,證明題,存在型,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）令n=1，a1=S1，代入計算即可得到；
（Ⅱ）n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，代入化簡整理，即可得到

1

Sn-1

-

1

Sn-1-1

=-1為定值；
（Ⅲ）運用等差數(shù)列的通項公式，求出S_n=

n

1+n

，假設(shè)存在正整數(shù)m，k，使

1

akSk

=

1

am

+19．化簡整理，因式分解可得（2k+2m+3）（2k-2m+1）=75=75×1=25×3=15×5，根據(jù)整數(shù)解，進而得到方程組，解得即可．

解答： （Ⅰ）解：n=1時，（a₁-1）²=a₁²，則a₁=

1

2

；
（Ⅱ）證明：（S_n-1）²=a_nS_n，
 則n≥2時，（S_n-1）²=（S_n-S_n-1）S_n．
 即有-2S_n+1=-S_n-1S_n，
即1-S_n=S_n（1-S_n-1），即有

1

Sn-1-1

=

Sn

Sn-1

，

1

Sn-1

-

1

Sn-1-1

=

1

Sn-1

-

Sn

Sn-1

=-1為定值，
則數(shù)列{

1

Sn-1

}為等差數(shù)列；
（Ⅲ）解：

1

a1-1

=-2，則

1

Sn-1

=-2+（n-1）（-1）=-n-1
即有S_n=

n

1+n

，則a_n=

(Sn-1)2

Sn

=

1

n(n+1)

假設(shè)存在正整數(shù)m，k，使

1

akSk

=

1

am

+19．
則（k+1）²=m（m+1）+19，則4（k+1）²=4m（m+1）+76，
即有[（2k+2）+（2m+1）][（2k+2）-（2m+1）]=75
即（2k+2m+3）（2k-2m+1）=75=75×1=25×3=15×5
即有

2k+2m+3=75 2k-2m+1=1

或

2k+2m+3=25 2k-2m+1=3

或

2k+2m+3=15 2k-2m+1=5

，
解得，

m=18 k=18

或

m=5 k=6

或

m=2 k=4

．

點評：本題考查數(shù)列的通項與前n項和的關(guān)系，考查等差數(shù)列的通項公式，考查存在性問題，考查運算能力，屬于中檔題．