Question

【題目】已知拋物線E：y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)K，過點(diǎn)K作圓（x﹣5）2+y2=9的兩條切線，切點(diǎn)為M，N，|MN|=3
（1）求拋物線E的方程；
（2）設(shè)A，B是拋物線E上分別位于x軸兩側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且 （其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
①求證：直線AB必過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
②過點(diǎn)Q作AB的垂線與拋物線交于G，D兩點(diǎn)，求四邊形AGBD面積的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可得K（﹣ ，0），圓C：（x﹣5）2+y2=9的圓心C（5，0），半徑r=3．

設(shè)MN與x軸交于R，由圓的對(duì)稱性可得|MR|=

于是|CR|= ，

即有|CK|= =6，

即有5+ =6，解得p=2，則拋物線E的方程為y2=4x

（2）證明①：設(shè)直線AB：x=my+t，A（ ，y1），B（ ，y2），

聯(lián)立拋物線方程可得y2﹣4my﹣4t=0，

y1+y2=4m，y1y2=﹣4t，

，即有 +y1y2= ，

解得y1y2=﹣18或2（舍去），

即﹣4t=﹣18，解得t= ．

則有AB恒過定點(diǎn)Q（ ，0）；

②解：由①可得|AB|= |y2﹣y1|= ，

同理|GD|= ，

則四邊形AGBD面積S= |AB||GD|=4 ，

令m2+ =μ（μ≥2），則S=4 是關(guān)于μ的增函數(shù)，

則當(dāng)μ=2時(shí)，S取得最小值，且為88．

當(dāng)且僅當(dāng)m=±1時(shí)，四邊形AGBD面積的最小值為88

【解析】（1）求得K的坐標(biāo)，圓的圓心和半徑，運(yùn)用對(duì)稱性可得MR的長(zhǎng)，由勾股定理和銳角的三角函數(shù)，可得CK=6，再由點(diǎn)到直線的距離公式即可求得p=2，進(jìn)而得到拋物線方程；（2）①設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡(jiǎn)整理，即可得到定點(diǎn)Q；
②運(yùn)用弦長(zhǎng)公式和四邊形的面積公式，換元整理，結(jié)合基本不等式，即可求得最小值．